$\epsilon > 0$ とする。関数 $f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$ のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\epsilon > 0$ とする。関数

$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2\epsilon} & (|x| \le \epsilon) \\ 0 & (|x| > \epsilon) \end{cases}$

のフーリエ変換 $F(u)$ を求め、さらに $\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求めよ。

2. 解き方の手順

関数 $f(x)$ のフーリエ変換 $F(u)$ は、次のように定義される。

$F(u) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-iux} dx$

与えられた関数 $f(x)$ を代入すると、

$F(u) = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} e^{-iux} dx$

$= \frac{1}{2\epsilon} \int_{-\epsilon}^{\epsilon} e^{-iux} dx$

$= \frac{1}{2\epsilon} \left[ \frac{e^{-iux}}{-iu} \right]_{-\epsilon}^{\epsilon}$

$= \frac{1}{2\epsilon} \left( \frac{e^{-iu\epsilon}}{-iu} - \frac{e^{iu\epsilon}}{-iu} \right)$

$= \frac{1}{2\epsilon} \left( \frac{e^{iu\epsilon} - e^{-iu\epsilon}}{iu} \right)$

$= \frac{1}{2\epsilon} \cdot \frac{2i \sin(u\epsilon)}{iu}$

$= \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

次に、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u)$ を求める。

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

ここで、$x = u\epsilon$ とおくと、$\epsilon \to 0$ のとき $x \to 0$ となる。

$\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$

ただし、$u=0$ の場合は $\lim_{\epsilon \to 0} F(0) = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{\sin(0)}{0}$ となり不定形となるので、フーリエ変換の定義に戻って考える。

$F(0) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x) e^{-i(0)x} dx = \int_{-\epsilon}^{\epsilon} \frac{1}{2\epsilon} dx = \frac{1}{2\epsilon} [x]_{-\epsilon}^{\epsilon} = \frac{1}{2\epsilon} (\epsilon - (-\epsilon)) = \frac{1}{2\epsilon} (2\epsilon) = 1$

よって、$u=0$ であっても、$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$

3. 最終的な答え

$F(u) = \frac{\sin(u\epsilon)}{u\epsilon}$

$\lim_{\epsilon \to 0} F(u) = 1$