関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、その微分 $f'(x)$ および $f''(x)$ を求め、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0, 1, 2$) を計算する。そして、$x=0$ における 2 次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ を用いて表す。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{(1+x)^2}$ について、その微分 $f'(x)$ および $f''(x)$ を求め、微分係数 $f^{(k)}(0)$ ($k=0, 1, 2$) を計算する。そして、$x=0$ における 2 次までのテイラー展開を剰余項 $R_3$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の微分を計算する。

$f(x) = (1+x)^{-2}$

$f'(x) = -2(1+x)^{-3} = \frac{-2}{(1+x)^3}$

$f''(x) = (-2)(-3)(1+x)^{-4} = 6(1+x)^{-4} = \frac{6}{(1+x)^4}$

次に、$x=0$ における微分係数を計算する。

$f(0) = \frac{1}{(1+0)^2} = 1$

$f'(0) = \frac{-2}{(1+0)^3} = -2$

$f''(0) = \frac{6}{(1+0)^4} = 6$

2次までのテイラー展開は、次の式で与えられる。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + R_3$

上記の値を代入して、

$f(x) = 1 + (-2)x + \frac{6}{2}x^2 + R_3$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$

3. 最終的な答え

$f(0) = 1$

$f'(0) = -2$

$f''(0) = 6$

$f(x) = 1 - 2x + 3x^2 + R_3$