与えられた2つの定積分を計算します。 (1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ (2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

1. 問題の内容

与えられた2つの定積分を計算します。

(1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$

(2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int_{1}^{2} \sqrt{e^{6x}} dx$ を計算します。

まず、積分を簡略化します。$\sqrt{e^{6x}} = (e^{6x})^{1/2} = e^{3x}$。

したがって、$\int_{1}^{2} e^{3x} dx$ を計算する必要があります。

$e^{3x}$ の不定積分は $\frac{1}{3}e^{3x}$ です。

したがって、$\int_{1}^{2} e^{3x} dx = [\frac{1}{3}e^{3x}]_{1}^{2} = \frac{1}{3}e^{3(2)} - \frac{1}{3}e^{3(1)} = \frac{1}{3}e^6 - \frac{1}{3}e^3 = \frac{1}{3}(e^6 - e^3)$。

(2) $\int_{0}^{1} (e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) dx$ を計算します。

まず、被積分関数を展開します。

$(e^{3x} - 1)(e^{-x} + 2) = e^{3x}e^{-x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2 = e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2$

次に、積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (e^{2x} + 2e^{3x} - e^{-x} - 2) dx = [\frac{1}{2}e^{2x} + \frac{2}{3}e^{3x} + e^{-x} - 2x]_{0}^{1}$

$= (\frac{1}{2}e^{2(1)} + \frac{2}{3}e^{3(1)} + e^{-1} - 2(1)) - (\frac{1}{2}e^{2(0)} + \frac{2}{3}e^{3(0)} + e^{-0} - 2(0))$

$= (\frac{1}{2}e^{2} + \frac{2}{3}e^{3} + e^{-1} - 2) - (\frac{1}{2} + \frac{2}{3} + 1)$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - 2 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} - 1$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - 3 - \frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{6}{2} - \frac{1}{2} - \frac{4}{6} = \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{7}{2} - \frac{2}{3}$

$= \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{21}{6} - \frac{4}{6} = \frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{25}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}(e^6 - e^3)$

(2) $\frac{1}{2}e^2 + \frac{2}{3}e^3 + \frac{1}{e} - \frac{25}{6}$