定積分 $\int_{1}^{8} \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{1}^{8} \frac{x}{\sqrt[3]{x}} dx$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を簡単にします。

$\frac{x}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x}{x^{1/3}} = x^{1 - 1/3} = x^{2/3}$

したがって、積分は

$\int_{1}^{8} x^{2/3} dx$

となります。

次に、不定積分を計算します。

$\int x^{2/3} dx = \frac{x^{2/3 + 1}}{2/3 + 1} + C = \frac{x^{5/3}}{5/3} + C = \frac{3}{5} x^{5/3} + C$

最後に、定積分の値を計算します。

$\int_{1}^{8} x^{2/3} dx = \left[ \frac{3}{5} x^{5/3} \right]_{1}^{8} = \frac{3}{5} (8^{5/3} - 1^{5/3}) = \frac{3}{5} ((2^3)^{5/3} - 1) = \frac{3}{5} (2^5 - 1) = \frac{3}{5} (32 - 1) = \frac{3}{5} (31) = \frac{93}{5}$

3. 最終的な答え

$\frac{93}{5}$