次の定積分を計算する問題です。 $\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^{x}}{e^{2x}} dx$

1. 問題の内容

次の定積分を計算する問題です。

$\int_{0}^{\log 2} \frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^{x}}{e^{2x}} dx$

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。

$\frac{e^{4x} + 3e^{2x} - e^{x}}{e^{2x}} = \frac{e^{4x}}{e^{2x}} + \frac{3e^{2x}}{e^{2x}} - \frac{e^{x}}{e^{2x}} = e^{2x} + 3 - e^{-x}$

したがって、積分は次のようになります。

$\int_{0}^{\log 2} (e^{2x} + 3 - e^{-x}) dx$

次に、それぞれの項を積分します。

$\int e^{2x} dx = \frac{1}{2}e^{2x}$

$\int 3 dx = 3x$

$\int -e^{-x} dx = e^{-x}$

よって、不定積分は

$\frac{1}{2}e^{2x} + 3x + e^{-x}$

となります。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\log 2} (e^{2x} + 3 - e^{-x}) dx = \left[ \frac{1}{2}e^{2x} + 3x + e^{-x} \right]_{0}^{\log 2}$

$= \left( \frac{1}{2}e^{2\log 2} + 3\log 2 + e^{-\log 2} \right) - \left( \frac{1}{2}e^{0} + 3(0) + e^{-0} \right)$

$= \left( \frac{1}{2}e^{\log 2^2} + 3\log 2 + e^{\log (1/2)} \right) - \left( \frac{1}{2}(1) + 0 + 1 \right)$

$= \left( \frac{1}{2}(4) + 3\log 2 + \frac{1}{2} \right) - \left( \frac{1}{2} + 1 \right)$

$= 2 + 3\log 2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} - 1$

$= 1 + 3\log 2$

3. 最終的な答え

$1 + 3\log 2$