関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ が与えられている。 (1) $f'(x)$ を求める。 (2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つことを示す。 (3) 任意の自然数 $n$ に対して、 $(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + (2n-1)xf^{(n)}(x) + (n-1)^2f^{(n-1)}(x) = 0$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。ただし、$f^{(k)}(x)$ は $f(x)$ の第 $k$ 次導関数を表す。また、$f^{(0)}(x) = f(x)$ とする。 (4) $f^{(9)}(0)$ および $f^{(10)}(0)$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ が与えられている。

(1) $f'(x)$ を求める。

(2) $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つことを示す。

(3) 任意の自然数 $n$ に対して、 $(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + (2n-1)xf^{(n)}(x) + (n-1)^2f^{(n-1)}(x) = 0$ が成り立つことを数学的帰納法で証明する。ただし、$f^{(k)}(x)$ は $f(x)$ の第 $k$ 次導関数を表す。また、$f^{(0)}(x) = f(x)$ とする。

(4) $f^{(9)}(0)$ および $f^{(10)}(0)$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ を微分する。

まず、$u = x + \sqrt{x^2 + 1}$ とおくと、$f(x) = \log(u)$。

$\frac{du}{dx} = 1 + \frac{1}{2}(x^2+1)^{-1/2}(2x) = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{\sqrt{x^2+1} + x}{\sqrt{x^2+1}}$

$f'(x) = \frac{df}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2+1}} \cdot \frac{x + \sqrt{x^2+1}}{\sqrt{x^2+1}} = \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$

(2) $f'(x) = (x^2+1)^{-1/2}$ をさらに微分して、$f''(x)$ を求める。

$f''(x) = -\frac{1}{2}(x^2+1)^{-3/2}(2x) = -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}$

$(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = (x^2+1) \left( -\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}} \right) + x \left( \frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \right) = -\frac{x}{\sqrt{x^2+1}} + \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} = 0$

よって、$(x^2+1)f''(x) + xf'(x) = 0$ が成り立つ。

(3) 数学的帰納法で証明する。

$n=1$ のとき、示すべき式は $(x^2+1)f''(x) + xf'(x) + 0 = 0$ であり、これは(2)で示されているので成り立つ。

$n=k$ で成立すると仮定する。つまり、

$(x^2+1)f^{(k+1)}(x) + (2k-1)xf^{(k)}(x) + (k-1)^2f^{(k-1)}(x) = 0$ が成立すると仮定する。

この式を微分する。積の微分法を用いると

$2xf^{(k+1)}(x) + (x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2k-1)f^{(k)}(x) + (2k-1)xf^{(k+1)}(x) + (k-1)^2f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2x + (2k-1)x)f^{(k+1)}(x) + ((2k-1) + (k-1)^2)f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2k+1)xf^{(k+1)}(x) + (2k-1+k^2-2k+1)f^{(k)}(x) = 0$

$(x^2+1)f^{(k+2)}(x) + (2k+1)xf^{(k+1)}(x) + k^2f^{(k)}(x) = 0$

これは $n=k+1$ の場合の式であり、したがって数学的帰納法により証明された。

(4) $(x^2+1)f^{(n+1)}(x) + (2n-1)xf^{(n)}(x) + (n-1)^2f^{(n-1)}(x) = 0$ に $x=0$ を代入すると、

$f^{(n+1)}(0) + (n-1)^2 f^{(n-1)}(0) = 0$

$f^{(n+1)}(0) = -(n-1)^2 f^{(n-1)}(0)$

$n=1$ のとき、$f''(0) = 0$。また、$f'(x) = (x^2+1)^{-1/2}$ より $f'(0) = 1$。$f(x) = \log(x + \sqrt{x^2+1})$ より $f(0) = \log(0+\sqrt{0+1}) = \log(1) = 0$。

$f^{(n+1)}(0) = -(n-1)^2 f^{(n-1)}(0)$

$n=2$ のとき、$f^{(3)}(0) = -1^2 f'(0) = -1$

$n=3$ のとき、$f^{(4)}(0) = -2^2 f''(0) = 0$

$n=4$ のとき、$f^{(5)}(0) = -3^2 f^{(3)}(0) = -9(-1) = 9$

$n=5$ のとき、$f^{(6)}(0) = -4^2 f^{(4)}(0) = 0$

$n=6$ のとき、$f^{(7)}(0) = -5^2 f^{(5)}(0) = -25(9) = -225$

$n=7$ のとき、$f^{(8)}(0) = -6^2 f^{(6)}(0) = 0$

$n=8$ のとき、$f^{(9)}(0) = -7^2 f^{(7)}(0) = -49(-225) = 11025$

$n=9$ のとき、$f^{(10)}(0) = -8^2 f^{(8)}(0) = 0$

3. 最終的な答え

$f^{(9)}(0) = 11025$

$f^{(10)}(0) = 0$