次の関数 $f(x)$ の、指定された定義域における最大値と最小値を求めよ。 (1) $f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)$ (2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)$ (3) $f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)$ (4) $f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)$

はい、承知いたしました。

問題文の指示に従い、OCRで読み取れた以下の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数 $f(x)$ の、指定された定義域における最大値と最小値を求めよ。

(1) $f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)$

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)$

(3) $f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)$

(4) $f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)$

まず、微分して極値を求めます。

$f'(x) = -4x + 8$

$f'(x) = 0$ となる $x$ は $x = 2$ です。

$f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 7 = -8 + 16 + 7 = 15$

定義域の端点での値を計算します。

$f(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) + 7 = -2 - 8 + 7 = -3$

$f(3) = -2(3)^2 + 8(3) + 7 = -18 + 24 + 7 = 13$

最大値は15 ($x = 2$のとき)、最小値は-3 ($x = -1$のとき)です。

(2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)$

まず、微分して極値を求めます。

$f'(x) = 3x^2 - 6x - 9$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 - 6x - 9 = 0$

$x^2 - 2x - 3 = 0$

$(x - 3)(x + 1) = 0$

$x = 3, -1$

定義域の端点と極値での値を計算します。

$f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) - 1 = -8 - 12 + 18 - 1 = -3$

$f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 1 = -1 - 3 + 9 - 1 = 4$

$f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 1 = 27 - 27 - 27 - 1 = -28$

$f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) - 1 = 64 - 48 - 36 - 1 = -21$

最大値は4 ($x = -1$のとき)、最小値は-28 ($x = 3$のとき)です。

(3) $f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)$

まず、微分して極値を求めます。

$f'(x) = -6x^2 + 12x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$-6x^2 + 12x = 0$

$-6x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

定義域に含まれるのは $x=0$ のみです。定義域の端点と極値での値を計算します。

$f(-1) = -2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 2 = 2 + 6 + 2 = 10$

$f(0) = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 2 = 2$

$f(1) = -2(1)^3 + 6(1)^2 + 2 = -2 + 6 + 2 = 6$

最大値は10 ($x = -1$のとき)、最小値は2 ($x = 0$のとき)です。

(4) $f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)$

まず、微分して極値を求めます。

$f'(x) = 4x^3 - 2x$

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$4x^3 - 2x = 0$

$2x(2x^2 - 1) = 0$

$x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

定義域に含まれるのは $x=0$ と $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ です。定義域の端点と極値での値を計算します。

$f(0) = (0)^4 - (0)^2 = 0$

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$

$f(2) = (2)^4 - (2)^2 = 16 - 4 = 12$

最大値は12 ($x = 2$のとき)、最小値は$-\frac{1}{4}$ ($x = \frac{1}{\sqrt{2}}$のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 15, 最小値: -3

(2) 最大値: 4, 最小値: -28

(3) 最大値: 10, 最小値: 2

(4) 最大値: 12, 最小値: -1/4