SENSEI AI
About App

次の関数 $f(x)$ の、指定された定義域における最大値と最小値を求めよ。 (1) $f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)$ (2) $f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)$ (3) $f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)$ (4) $f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)$

解析学関数の最大・最小微分定義域極値
2025/7/9
はい、承知いたしました。
問題文の指示に従い、OCRで読み取れた以下の問題を解きます。

1. 問題の内容

次の関数 f(x)f(x) の、指定された定義域における最大値と最小値を求めよ。
(1) f(x)=−2x2+8x+7(−1≤x≤3)f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)
(2) f(x)=x3−3x2−9x−1(−2≤x≤4)f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)
(3) f(x)=−2x3+6x2+2(−1≤x≤1)f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)
(4) f(x)=x4−x2(0≤x≤2)f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)

2. 解き方の手順

(1) f(x)=−2x2+8x+7(−1≤x≤3)f(x) = -2x^2 + 8x + 7 \quad (-1 \leq x \leq 3)
まず、微分して極値を求めます。
f′(x)=−4x+8f'(x) = -4x + 8
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx は x=2x = 2 です。
f(2)=−2(2)2+8(2)+7=−8+16+7=15f(2) = -2(2)^2 + 8(2) + 7 = -8 + 16 + 7 = 15
定義域の端点での値を計算します。
f(−1)=−2(−1)2+8(−1)+7=−2−8+7=−3f(-1) = -2(-1)^2 + 8(-1) + 7 = -2 - 8 + 7 = -3
f(3)=−2(3)2+8(3)+7=−18+24+7=13f(3) = -2(3)^2 + 8(3) + 7 = -18 + 24 + 7 = 13
最大値は15 (x=2x = 2のとき)、最小値は-3 (x=−1x = -1のとき)です。
(2) f(x)=x3−3x2−9x−1(−2≤x≤4)f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x - 1 \quad (-2 \leq x \leq 4)
まず、微分して極値を求めます。
f′(x)=3x2−6x−9f'(x) = 3x^2 - 6x - 9
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
3x2−6x−9=03x^2 - 6x - 9 = 0
x2−2x−3=0x^2 - 2x - 3 = 0
(x−3)(x+1)=0(x - 3)(x + 1) = 0
x=3,−1x = 3, -1
定義域の端点と極値での値を計算します。
f(−2)=(−2)3−3(−2)2−9(−2)−1=−8−12+18−1=−3f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) - 1 = -8 - 12 + 18 - 1 = -3
f(−1)=(−1)3−3(−1)2−9(−1)−1=−1−3+9−1=4f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) - 1 = -1 - 3 + 9 - 1 = 4
f(3)=(3)3−3(3)2−9(3)−1=27−27−27−1=−28f(3) = (3)^3 - 3(3)^2 - 9(3) - 1 = 27 - 27 - 27 - 1 = -28
f(4)=(4)3−3(4)2−9(4)−1=64−48−36−1=−21f(4) = (4)^3 - 3(4)^2 - 9(4) - 1 = 64 - 48 - 36 - 1 = -21
最大値は4 (x=−1x = -1のとき)、最小値は-28 (x=3x = 3のとき)です。
(3) f(x)=−2x3+6x2+2(−1≤x≤1)f(x) = -2x^3 + 6x^2 + 2 \quad (-1 \leq x \leq 1)
まず、微分して極値を求めます。
f′(x)=−6x2+12xf'(x) = -6x^2 + 12x
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
−6x2+12x=0-6x^2 + 12x = 0
−6x(x−2)=0-6x(x - 2) = 0
x=0,2x = 0, 2
定義域に含まれるのは x=0x=0 のみです。定義域の端点と極値での値を計算します。
f(−1)=−2(−1)3+6(−1)2+2=2+6+2=10f(-1) = -2(-1)^3 + 6(-1)^2 + 2 = 2 + 6 + 2 = 10
f(0)=−2(0)3+6(0)2+2=2f(0) = -2(0)^3 + 6(0)^2 + 2 = 2
f(1)=−2(1)3+6(1)2+2=−2+6+2=6f(1) = -2(1)^3 + 6(1)^2 + 2 = -2 + 6 + 2 = 6
最大値は10 (x=−1x = -1のとき)、最小値は2 (x=0x = 0のとき)です。
(4) f(x)=x4−x2(0≤x≤2)f(x) = x^4 - x^2 \quad (0 \leq x \leq 2)
まず、微分して極値を求めます。
f′(x)=4x3−2xf'(x) = 4x^3 - 2x
f′(x)=0f'(x) = 0 となる xx を求めます。
4x3−2x=04x^3 - 2x = 0
2x(2x2−1)=02x(2x^2 - 1) = 0
x=0,±12x = 0, \pm \frac{1}{\sqrt{2}}
定義域に含まれるのは x=0x=0 と x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}} です。定義域の端点と極値での値を計算します。
f(0)=(0)4−(0)2=0f(0) = (0)^4 - (0)^2 = 0
f(12)=(12)4−(12)2=14−12=−14f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = (\frac{1}{\sqrt{2}})^4 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}
f(2)=(2)4−(2)2=16−4=12f(2) = (2)^4 - (2)^2 = 16 - 4 = 12
最大値は12 (x=2x = 2のとき)、最小値は−14-\frac{1}{4} (x=12x = \frac{1}{\sqrt{2}}のとき)です。

3. 最終的な答え

(1) 最大値: 15, 最小値: -3
(2) 最大値: 4, 最小値: -28
(3) 最大値: 10, 最小値: 2
(4) 最大値: 12, 最小値: -1/4

「解析学」の関連問題

関数 $f(x) = (x+2)|x-4|$ について、 (1) 区間 $t-1 \le x \le t$ における最小値を $g(t)$ とする。$g(t)$ を求め、そのグラフを描け。 (2) 区...

関数の最小値関数の最大値絶対値グラフ二次関数
2025/7/10

$\sin(6x - 2)$ を積分せよ。

積分三角関数置換積分
2025/7/10

次の不定積分を求める問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx$ また、結果は $\log(|ア| + \sqrt{イ}) + C$ の形式で表され、「ア...

不定積分置換積分平方完成双曲線関数積分計算
2025/7/10

定積分 $\int_0^{2\pi} |\sin \theta| d\theta$ の値を計算します。

定積分絶対値三角関数
2025/7/10

関数 $f(x, y)$ の連続性を調べる問題です。関数は次のように定義されています。 $f(x, y) = \frac{\sin(xy)}{xy}$ (if $xy \neq 0$) $f(x, ...

多変数関数連続性極限三角関数
2025/7/10

数列 $\left\{ (x^2 - 2x - 1)^n \right\}$ が収束するような $x$ の値の範囲を求めます。

数列収束不等式解の公式
2025/7/10

与えられた積分問題を解きます。 問題1: 次の関数の不定積分を求めよ。 (1) $\int \frac{2}{(e^x + e^{-x})^2} dx$ (2) $\int x \arctan(x) ...

不定積分部分積分有理関数置換積分
2025/7/10

与えられた複数の数学の問題について、それぞれの解答を求める。問題は、極限の計算、関数の微分、連続性、微分可能性の判定、およびC∞級関数の証明に関するものである。

極限微分連続性微分可能性C∞級関数
2025/7/10

時刻 $t$ における質点の位置が $x = at\sin(\omega t)$, $y = at\cos(\omega t)$ で表されるとき、以下の問いに答える問題です。ただし、$a, \omeg...

微分速度加速度ベクトル
2025/7/10

問題1では、次の2つの関数の不定積分を求める問題です。 (1) $\frac{2}{(e^x + e^{-x})^2}$ (2) $x \tan^{-1} x$ 問題2では、次の3つの有理関数の不定積...

不定積分置換積分部分積分部分分数分解有理関数
2025/7/10