定積分 $\int_0^{2\pi} |\sin \theta| d\theta$ の値を計算します。

1. 問題の内容

定積分 $\int_0^{2\pi} |\sin \theta| d\theta$ の値を計算します。

2. 解き方の手順

$\sin \theta$ の絶対値があるので、積分区間を $\sin \theta$ の符号によって分割します。$\sin \theta$ は $0 \le \theta \le \pi$ で正、$\pi \le \theta \le 2\pi$ で負であるため、次のように積分を分割できます。

$\int_0^{2\pi} |\sin \theta| d\theta = \int_0^{\pi} \sin \theta d\theta + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin \theta) d\theta$

$\int \sin \theta d\theta = -\cos \theta + C$ であるため、各積分は次のようになります。

$\int_0^{\pi} \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_0^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin \theta) d\theta = [\cos \theta]_{\pi}^{2\pi} = \cos 2\pi - \cos \pi = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、

$\int_0^{2\pi} |\sin \theta| d\theta = 2 + 2 = 4$

3. 最終的な答え

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