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## 問題の解答

解析学偏微分陰関数定理連立方程式逆関数
2025/7/11
## 問題の解答
問題は、与えられた関数または関係式から、特定の微分を求める問題です。具体的には、以下の4つの小問があります。
(1) f(x,y)=sin⁡y+ex−xy2=0f(x, y) = \sin y + e^x - xy^2 = 0 から dydx\frac{dy}{dx} を求める。
(2) f(x,y,z)=x2+y2+z2−4z=0f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 - 4z = 0 から ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}, ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y}, ∂2z∂x2\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, ∂2z∂x∂y\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} を求める。
(3) xu−yv=0xu - yv = 0, yu+xv=1yu + xv = 1 から ∂u∂x\frac{\partial u}{\partial x}, ∂v∂x\frac{\partial v}{\partial x} を求める。
(4) x=eucos⁡vx = e^u \cos v, y=eusin⁡vy = e^u \sin v, z=uvz = uv から ∂z∂x\frac{\partial z}{\partial x}, ∂z∂y\frac{\partial z}{\partial y} を求める。
## 解き方の手順と答え
### (1)

1. **陰関数定理の適用:** $f(x, y) = 0$ のとき、$\frac{dy}{dx} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}$ を用います。

2. **偏微分の計算:**

* ∂f∂x=ex−y2\frac{\partial f}{\partial x} = e^x - y^2
* ∂f∂y=cos⁡y−2xy\frac{\partial f}{\partial y} = \cos y - 2xy

3. **$\frac{dy}{dx}$ の計算:**

dydx=−ex−y2cos⁡y−2xy=y2−excos⁡y−2xy\frac{dy}{dx} = -\frac{e^x - y^2}{\cos y - 2xy} = \frac{y^2 - e^x}{\cos y - 2xy}
**最終的な答え:** dydx=y2−excos⁡y−2xy\frac{dy}{dx} = \frac{y^2 - e^x}{\cos y - 2xy}
### (2)

1. **陰関数定理の適用:** $f(x, y, z) = 0$ のとき、$\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{\frac{\partial f}{\partial y}}{\frac{\partial f}{\partial z}}$ を用います。

2. **偏微分の計算:**

* ∂f∂x=2x\frac{\partial f}{\partial x} = 2x
* ∂f∂y=2y\frac{\partial f}{\partial y} = 2y
* ∂f∂z=2z−4\frac{\partial f}{\partial z} = 2z - 4

3. **$\frac{\partial z}{\partial x}$ と $\frac{\partial z}{\partial y}$ の計算:**

* ∂z∂x=−2x2z−4=x2−z\frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{2x}{2z - 4} = \frac{x}{2 - z}
* ∂z∂y=−2y2z−4=y2−z\frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{2y}{2z - 4} = \frac{y}{2 - z}

4. **二階偏微分の計算:**

* ∂2z∂x2=∂∂x(x2−z)=(2−z)−x(−∂z∂x)(2−z)2=2−z+x(x2−z)(2−z)2=2−z+x22−z(2−z)2=2(2−z)2+x2(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x} \left(\frac{x}{2-z}\right) = \frac{(2-z) - x(-\frac{\partial z}{\partial x})}{(2-z)^2} = \frac{2-z + x(\frac{x}{2-z})}{(2-z)^2} = \frac{2-z+\frac{x^2}{2-z}}{(2-z)^2} = \frac{2(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}
* ∂2z∂x∂y=∂∂y(x2−z)=0−x(−∂z∂y)(2−z)2=x(y2−z)(2−z)2=xy(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{x}{2-z}\right) = \frac{0 - x(-\frac{\partial z}{\partial y})}{(2-z)^2} = \frac{x(\frac{y}{2-z})}{(2-z)^2} = \frac{xy}{(2-z)^3}
**最終的な答え:**
* ∂z∂x=x2−z\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{x}{2-z}
* ∂z∂y=y2−z\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{y}{2-z}
* ∂2z∂x2=(2−z)2+x2(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{(2-z)^2 + x^2}{(2-z)^3}
* ∂2z∂x∂y=xy(2−z)3\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y} = \frac{xy}{(2-z)^3}
### (3)

1. **連立方程式の微分:** 与えられた2つの式を $x$ で偏微分します。$u$ と $v$ は $x$ の関数であることに注意します。

* ∂∂x(xu−yv)=u+x∂u∂x−y∂v∂x=0\frac{\partial}{\partial x} (xu - yv) = u + x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = 0
* ∂∂x(yu+xv)=y∂u∂x+v+x∂v∂x=0\frac{\partial}{\partial x} (yu + xv) = y \frac{\partial u}{\partial x} + v + x \frac{\partial v}{\partial x} = 0

2. **$\frac{\partial u}{\partial x}$ と $\frac{\partial v}{\partial x}$ について解く:** 上記の2つの式から連立方程式を解きます。

\begin{cases}
x \frac{\partial u}{\partial x} - y \frac{\partial v}{\partial x} = -u \\
y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial v}{\partial x} = -v
\end{cases}
これを解くと、
\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-ux - vy}{x^2+y^2}
\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-vx + uy}{x^2+y^2}
**最終的な答え:**
* ∂u∂x=−ux−vyx2+y2\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{-ux - vy}{x^2+y^2}
* ∂v∂x=−vx+uyx2+y2\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{-vx + uy}{x^2+y^2}
### (4)

1. **逆関数の偏微分:** $z = uv$ であり、$u$ と $v$ は $x$ と $y$ の関数として与えられていないので、$u$ と $v$ を $x$ と $y$ で表す必要があります。

* x=eucos⁡vx = e^u \cos v
* y=eusin⁡vy = e^u \sin v

2. $x^2+y^2 = (e^u \cos v)^2+(e^u \sin v)^2=e^{2u}(\cos^2v + \sin^2 v)=e^{2u}$. したがって、 $e^u = \sqrt{x^2+y^2}$ となり、$u = \frac{1}{2}\ln(x^2+y^2)$.

3. $\frac{y}{x} = \frac{e^u \sin v}{e^u \cos v} = \tan v$. したがって、$v = \arctan(\frac{y}{x})$

4. 偏微分の計算

* ∂u∂x=xx2+y2\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{x}{x^2+y^2}
* ∂u∂y=yx2+y2\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{y}{x^2+y^2}
* ∂v∂x=11+(y/x)2(−yx2)=−yx2+y2\frac{\partial v}{\partial x} = \frac{1}{1+(y/x)^2}(-\frac{y}{x^2}) = \frac{-y}{x^2+y^2}
* ∂v∂y=11+(y/x)2(1x)=xx2+y2\frac{\partial v}{\partial y} = \frac{1}{1+(y/x)^2}(\frac{1}{x}) = \frac{x}{x^2+y^2}

5. $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial (uv)}{\partial x} = u \frac{\partial v}{\partial x} + v \frac{\partial u}{\partial x}=u (\frac{-y}{x^2+y^2})+v (\frac{x}{x^2+y^2}) = \frac{xv-yu}{x^2+y^2} $

6. $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial (uv)}{\partial y} = u \frac{\partial v}{\partial y} + v \frac{\partial u}{\partial y}=u (\frac{x}{x^2+y^2})+v (\frac{y}{x^2+y^2}) = \frac{xu+vy}{x^2+y^2}$

**最終的な答え:**
* ∂z∂x=xv−yux2+y2\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{xv-yu}{x^2+y^2}
* ∂z∂y=xu+vyx2+y2\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{xu+vy}{x^2+y^2}

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