不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}}dx$ を計算し、その結果を $\log | \text{ア} + \sqrt{\text{イ}} | + C$ の形で表したとき、ア と イ に当てはまる式を、選択肢（1. $x+1$、2. $2x+2$、3. $x^2 + 2x$）の中から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 2x}}dx$ を計算し、その結果を $\log | \text{ア} + \sqrt{\text{イ}} | + C$ の形で表したとき、ア と イ に当てはまる式を、選択肢（

1. $x+1$、

2. $2x+2$、

3. $x^2 + 2x$）の中から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、積分の中にある $x^2 + 2x$ を平方完成します。

$x^2 + 2x = (x+1)^2 - 1$

これを用いると、与えられた積分は、

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+1)^2 - 1}} dx$

ここで、$u = x+1$ と置換すると、$du = dx$ となり、積分は

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} du$

この積分は、$\cosh^{-1}(u) + C$ または $\log(u + \sqrt{u^2 - 1}) + C$ となります。

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{u^2 - 1}} du = \log(u + \sqrt{u^2 - 1}) + C$

ここで、$u = x+1$ を代入すると、

$\log(x+1 + \sqrt{(x+1)^2 - 1}) + C = \log(x+1 + \sqrt{x^2 + 2x}) + C$

これを与えられた形 $\log | \text{ア} + \sqrt{\text{イ}} | + C$ と比較すると、ア $= x+1$、イ $= x^2 + 2x$ となります。

3. 最終的な答え

ア：

1. $x+1$

イ：

3. $x^2 + 2x$