次の定積分の値を求める問題です。 (1) $\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$

1. 問題の内容

次の定積分の値を求める問題です。

(1) $\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) dx$

(2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx$

2. 解き方の手順

(1)

まず、不定積分を求めます。

$\int (3x^2 + 2x) dx = x^3 + x^2 + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{1} (3x^2 + 2x) dx = [x^3 + x^2]_{0}^{1} = (1^3 + 1^2) - (0^3 + 0^2) = 1 + 1 - 0 = 2$

(2)

まず、不定積分を求めます。

$\int (\sin x + \cos x) dx = -\cos x + \sin x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\sin x + \cos x) dx = [-\cos x + \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = (-\cos(\frac{\pi}{2}) + \sin(\frac{\pi}{2})) - (-\cos(0) + \sin(0)) = (-0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2$

3. 最終的な答え

(1) の答え: 2

(2) の答え: 2