$p$ と $m$ を実数とする。関数 $f(x) = x^3 + 3px^2 + 3mx$ は $x = \alpha$ で極大値をとり、$x = \beta$ で極小値をとる。 (1) $f(\alpha) - f(\beta)$ を $p$ と $m$ を用いて表せ。 (2) $p$ と $m$ が $f(\alpha) - f(\beta) = 4$ を満たしながら動くとき、曲線 $y = f(x)$ の変曲点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

$p$ と $m$ を実数とする。関数 $f(x) = x^3 + 3px^2 + 3mx$ は $x = \alpha$ で極大値をとり、$x = \beta$ で極小値をとる。

(1) $f(\alpha) - f(\beta)$ を $p$ と $m$ を用いて表せ。

(2) $p$ と $m$ が $f(\alpha) - f(\beta) = 4$ を満たしながら動くとき、曲線 $y = f(x)$ の変曲点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求める。

$f'(x) = 3x^2 + 6px + 3m$

$f'(x) = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ なので、$x^2 + 2px + m = 0$ の解が $\alpha$ と $\beta$ である。

解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -2p$

$\alpha\beta = m$

$\beta - \alpha = \sqrt{(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta} = \sqrt{4p^2 - 4m} = 2\sqrt{p^2 - m}$ ($\beta > \alpha$ より)

$f(\alpha) - f(\beta) = (\alpha^3 - \beta^3) + 3p(\alpha^2 - \beta^2) + 3m(\alpha - \beta)$

$= (\alpha - \beta)(\alpha^2 + \alpha\beta + \beta^2) + 3p(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + 3m(\alpha - \beta)$

$= (\alpha - \beta) \{ (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta \} + 3p(\alpha - \beta)(\alpha + \beta) + 3m(\alpha - \beta)$

$= (\alpha - \beta) \{ (\alpha + \beta)^2 - \alpha\beta + 3p(\alpha + \beta) + 3m \}$

$= -(\beta - \alpha) \{ (-2p)^2 - m + 3p(-2p) + 3m \}$

$= -(\beta - \alpha) \{ 4p^2 - m - 6p^2 + 3m \}$

$= -(\beta - \alpha) \{ -2p^2 + 2m \}$

$= 2(\beta - \alpha) (p^2 - m)$

$= 2(2\sqrt{p^2 - m})(p^2 - m)$

$= 4(p^2 - m)^{3/2}$

(2)

変曲点を求める。

$f''(x) = 6x + 6p$

$f''(x) = 0$ より、$x = -p$

$x = -p$ のとき、$y = f(-p) = (-p)^3 + 3p(-p)^2 + 3m(-p) = -p^3 + 3p^3 - 3mp = 2p^3 - 3mp$

変曲点は $(-p, 2p^3 - 3mp)$

ここで、$f(\alpha) - f(\beta) = 4(p^2 - m)^{3/2} = 4$ より、$(p^2 - m)^{3/2} = 1$

$p^2 - m = 1$

$m = p^2 - 1$

変曲点の座標を $(X, Y)$ とすると、$X = -p$、$Y = 2p^3 - 3mp$

$p = -X$

$Y = 2(-X)^3 - 3(-X)(p^2 - 1) = -2X^3 + 3X(X^2 - 1) = -2X^3 + 3X^3 - 3X = X^3 - 3X$

よって、変曲点の軌跡は、$y = x^3 - 3x$

3. 最終的な答え

(1) $f(\alpha) - f(\beta) = 4(p^2 - m)^{3/2}$

(2) $y = x^3 - 3x$