定積分 $\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) dx$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、積分を計算します。

$\int (\sin 2x + \cos 3x) dx = \int \sin 2x dx + \int \cos 3x dx$

$\int \sin 2x dx = -\frac{1}{2} \cos 2x + C_1$

$\int \cos 3x dx = \frac{1}{3} \sin 3x + C_2$

したがって、不定積分は

$-\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{3} \sin 3x + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} (\sin 2x + \cos 3x) dx = \left[-\frac{1}{2} \cos 2x + \frac{1}{3} \sin 3x \right]_0^{\pi}$

$= \left(-\frac{1}{2} \cos 2\pi + \frac{1}{3} \sin 3\pi \right) - \left(-\frac{1}{2} \cos 0 + \frac{1}{3} \sin 0 \right)$

$= \left(-\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{3}(0) \right) - \left(-\frac{1}{2}(1) + \frac{1}{3}(0) \right)$

$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$

$= 0$

3. 最終的な答え

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