定積分 $\int_{0}^{2\pi} |\sin \theta| d\theta$ の値を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{2\pi} |\sin \theta| d\theta$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

$\sin \theta$ は区間 $[0, 2\pi]$ で正と負の両方の値を取ります。絶対値記号を外すために積分区間を分割します。

- $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\sin \theta \ge 0$ なので、 $|\sin \theta| = \sin \theta$

- $\pi \le \theta \le 2\pi$ のとき、$\sin \theta \le 0$ なので、 $|\sin \theta| = -\sin \theta$

したがって、積分は以下のように分割できます。

$\int_{0}^{2\pi} |\sin \theta| d\theta = \int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta + \int_{\pi}^{2\pi} (-\sin \theta) d\theta$

それぞれの積分を計算します。

$\int_{0}^{\pi} \sin \theta d\theta = [-\cos \theta]_{0}^{\pi} = -\cos \pi - (-\cos 0) = -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$

$\int_{\pi}^{2\pi} (-\sin \theta) d\theta = [\cos \theta]_{\pi}^{2\pi} = \cos 2\pi - \cos \pi = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$

したがって、

$\int_{0}^{2\pi} |\sin \theta| d\theta = 2 + 2 = 4$

3. 最終的な答え

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