区間 $I=[0, 1]$ を $n$ 等分し、その分点を $x_0=0, x_1=1/n, x_2=2/n, \dots, x_n=1$ とする。さらに $\xi_i = x_i$ とする。このとき、関数 $f(x)$ について $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n}$ を考えることにより、次の定積分の値を求めよ。 (1) $\int_0^1 (2x+1) dx$ (2) $\int_0^1 x^2 dx$

1. 問題の内容

区間 $I=[0, 1]$ を $n$ 等分し、その分点を $x_0=0, x_1=1/n, x_2=2/n, \dots, x_n=1$ とする。さらに $\xi_i = x_i$ とする。このとき、関数 $f(x)$ について $\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n}$ を考えることにより、次の定積分の値を求めよ。

(1) $\int_0^1 (2x+1) dx$

(2) $\int_0^1 x^2 dx$

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 2x+1$ の場合を考える。

$\xi_i = x_i = \frac{i}{n}$ であるから、$f(\xi_i) = 2\frac{i}{n} + 1$ となる。

よって、$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} (2\frac{i}{n} + 1) \frac{1}{n} = \frac{2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} 1 = \frac{2}{n^2} \frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{n} n = \frac{n(n+1)}{n^2} + 1 = \frac{n^2+n}{n^2} + 1 = 1 + \frac{1}{n} + 1 = 2 + \frac{1}{n}$ となる。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} (2 + \frac{1}{n}) = 2$ となる。

一方、$\int_0^1 (2x+1) dx = [x^2+x]_0^1 = (1^2+1) - (0^2+0) = 2$ となる。

(2) $f(x) = x^2$ の場合を考える。

$\xi_i = x_i = \frac{i}{n}$ であるから、$f(\xi_i) = (\frac{i}{n})^2$ となる。

よって、$\sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n} = \sum_{i=1}^{n} (\frac{i}{n})^2 \frac{1}{n} = \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{1}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3} = \frac{2n^2+3n+1}{6n^2} = \frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}$ となる。

したがって、$\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(\xi_i) \frac{1}{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2n} + \frac{1}{6n^2}) = \frac{1}{3}$ となる。

一方、$\int_0^1 x^2 dx = [\frac{1}{3}x^3]_0^1 = \frac{1}{3}(1^3 - 0^3) = \frac{1}{3}$ となる。

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 1/3