区間 $I = [0,1]$ を $n$ 等分し、その分点を $x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{n}, x_2 = \frac{2}{n}, ..., x_n = 1$ とする。さらに $\xi_i = x_i$ とする。このとき、関数 $f(x)$ について、$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n}$ を考えることにより、次の定積分の値を求める。 (1) $\int_0^1 (2x+1) dx$ (2) $\int_0^1 x^2 dx$ また、問題2では、問題1の(1),(2)の関数$f(x)$について、$\xi_i = x_{i-1}$として、$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n}$を計算する。

1. 問題の内容

区間 $I = [0,1]$ を $n$ 等分し、その分点を $x_0 = 0, x_1 = \frac{1}{n}, x_2 = \frac{2}{n}, ..., x_n = 1$ とする。さらに $\xi_i = x_i$ とする。このとき、関数 $f(x)$ について、$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n}$ を考えることにより、次の定積分の値を求める。

(1) $\int_0^1 (2x+1) dx$

(2) $\int_0^1 x^2 dx$

また、問題2では、問題1の(1),(2)の関数$f(x)$について、$\xi_i = x_{i-1}$として、$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n}$を計算する。

2. 解き方の手順

(1) $\int_0^1 (2x+1) dx$

$f(x) = 2x+1$ であり、$\xi_i = x_i = \frac{i}{n}$ である。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (2\frac{i}{n}+1)\frac{1}{n}$

$= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (\frac{2i}{n^2} + \frac{1}{n})$

$= \lim_{n\to\infty} (\frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^n i + \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 1)$

$= \lim_{n\to\infty} (\frac{2}{n^2}\frac{n(n+1)}{2} + \frac{1}{n}n)$

$= \lim_{n\to\infty} (\frac{n(n+1)}{n^2} + 1)$

$= \lim_{n\to\infty} (\frac{n^2+n}{n^2} + 1)$

$= \lim_{n\to\infty} (1+\frac{1}{n} + 1)$

$= 1+0+1 = 2$

(2) $\int_0^1 x^2 dx$

$f(x) = x^2$ であり、$\xi_i = x_i = \frac{i}{n}$ である。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (\frac{i}{n})^2\frac{1}{n}$

$= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{i^2}{n^3}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \sum_{i=1}^n i^2$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3} \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3+3n^2+n}{6n^3}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2+\frac{3}{n}+\frac{1}{n^2}}{6}$

$= \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

問題2

(1) $f(x) = 2x+1$ であり、$\xi_i = x_{i-1} = \frac{i-1}{n}$ である。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (2\frac{i-1}{n}+1)\frac{1}{n}$

$= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (\frac{2i-2}{n^2}+\frac{1}{n})$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n^2}\sum_{i=1}^n (i-1)+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n 1$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n^2}(\frac{n(n+1)}{2}-n) + \frac{n}{n}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2}{n^2}(\frac{n^2+n-2n}{2}) + 1$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{n^2-n}{n^2} + 1$

$= \lim_{n\to\infty} 1-\frac{1}{n} + 1$

$= 2$

(2) $f(x) = x^2$ であり、$\xi_i = x_{i-1} = \frac{i-1}{n}$ である。

$\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n f(\xi_i)\frac{1}{n} = \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n (\frac{i-1}{n})^2\frac{1}{n}$

$= \lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{(i-1)^2}{n^3}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}\sum_{i=1}^n (i-1)^2$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}\sum_{i=0}^{n-1} i^2$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{1}{n^3}\frac{(n-1)n(2n-1)}{6}$

$= \lim_{n\to\infty} \frac{2n^3-3n^2+n}{6n^3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

問題1

(1) 2

(2) 1/3

問題2

(1) 2

(2) 1/3