次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。 $\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \log|(ア) + \sqrt{(イ)}| + C$ 選択肢は次の通りです。 1. $x+2$

1. 問題の内容

次の不定積分を求め、空欄を埋める問題です。

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \log|(ア) + \sqrt{(イ)}| + C$

選択肢は次の通りです。

1. $x+2$

2. $2x+4$

3. $x^2 + 4x + 5$

2. 解き方の手順

まず、積分の中の根号の中身を平方完成します。

$x^2 + 4x + 5 = (x^2 + 4x + 4) + 1 = (x+2)^2 + 1$

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx$

ここで、$x+2 = \sinh u$ と置換すると、$dx = \cosh u \, du$ となります。

すると、

$\sqrt{(x+2)^2 + 1} = \sqrt{\sinh^2 u + 1} = \sqrt{\cosh^2 u} = \cosh u$

よって、

$\int \frac{1}{\sqrt{(x+2)^2 + 1}} dx = \int \frac{\cosh u}{\cosh u} du = \int 1 \, du = u + C'$

$x+2 = \sinh u$ より、$u = \sinh^{-1} (x+2)$

$\sinh^{-1} x = \log(x + \sqrt{x^2 + 1})$ であるから、

$u = \log((x+2) + \sqrt{(x+2)^2 + 1}) = \log(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 4 + 1}) = \log(x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5})$

したがって、

$\int \frac{1}{\sqrt{x^2 + 4x + 5}} dx = \log|x+2 + \sqrt{x^2 + 4x + 5}| + C$

3. 最終的な答え

ア:

1. $x+2$

イ:

3. $x^2 + 4x + 5$