関数 $f(x) = (x+2)|x-4|$ について、 (1) 区間 $t-1 \le x \le t$ における最小値を $g(t)$ とする。$g(t)$ を求め、そのグラフを描け。 (2) 区間 $t-1 \le x \le t$ における最大値を $h(t)$ とする。$h(t)$ を求め、そのグラフを描け。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = (x+2)|x-4|$ について、

(1) 区間 $t-1 \le x \le t$ における最小値を $g(t)$ とする。$g(t)$ を求め、そのグラフを描け。

(2) 区間 $t-1 \le x \le t$ における最大値を $h(t)$ とする。$h(t)$ を求め、そのグラフを描け。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$f(x)$ の絶対値をはずす。

$x \ge 4$ のとき、$f(x) = (x+2)(x-4) = x^2 - 2x - 8 = (x-1)^2 - 9$

$x < 4$ のとき、$f(x) = (x+2)(4-x) = -x^2 + 2x + 8 = -(x-1)^2 + 9$

次に、$f(x)$ のグラフの概形を把握する。

$x \ge 4$ のとき、下に凸な放物線で、軸は $x=1$、頂点は $(1, -9)$ (ただし、$x \ge 4$ の範囲のみ)。

$x < 4$ のとき、上に凸な放物線で、軸は $x=1$、頂点は $(1, 9)$ (ただし、$x < 4$ の範囲のみ)。

$x=4$ で、$f(x)=0$ となる。また、$x=-2$ で、$f(x)=0$となる。

$g(t)$ を求める。区間 $t-1 \le x \le t$ で考える。

(i) $t \le -2$ のとき、$g(t) = f(t) = (t+2)(4-t) = -t^2+2t+8$

(ii) $t-1 \ge 4$ つまり $t \ge 5$ のとき、$g(t)$ は $t-1$ または $t$ で最小値をとる。

$f(x) = (x-1)^2 - 9$ なので、$f(t-1)$ と $f(t)$ を比較する。

$f(t-1) - f(t) = ((t-1-1)^2 - 9) - ((t-1)^2 - 9) = (t-2)^2 - (t-1)^2 = t^2 - 4t + 4 - (t^2 - 2t + 1) = -2t + 3 < 0$ (∵ $t \ge 5$)

よって、$f(t-1) < f(t)$ なので、$g(t) = f(t-1) = (t-1+2)(t-1-4) = (t+1)(t-5) = t^2 - 4t - 5$

(iii) $t-1 < 4 < t$ つまり $4 < t < 5$ のとき、区間内に $x=4$ が含まれるので、$f(4) = 0$ で最小値をとる。したがって、$g(t) = 0$。

(iv) $-2 < t < 5$の場合を検討する。

軸 $x=1$ が範囲に含まれる場合(すなわち，$t-1 \le 1 \le t$ すなわち、$2 \le t \le 1$の時)は頂点で最小値を取る可能性があるので$f(1) = 9$

$-2 \le t-1$ のとき、 $-1 \le t$.

$t-1 < 1 < t$ すなわち $2< t < 1$を満たす$t$は存在しない。

区間 $[t-1,t]$ が $x=4$ を含むとき最小値は0である。

$g(t)$のグラフは省略します

(2)

$h(t)$を求める。

$f(x) = (x+2)|x-4|$について，

(i) $t \le -2$ のとき,$h(t) = f(t-1)$

(ii) $t-1 \ge 4$ のとき，$h(t) = f(t) =(t+2)(t-4)$

(iii) $t-1 < 4 < t$ のとき

(iv) $-2 < t < 5$の場合を検討する。

区間 $[t-1, t]$ における $f(x)$ の最大値 $h(t)$ を求める。

$h(t)$のグラフは省略します

3. 最終的な答え

(1)

$g(t) = \begin{cases}

-t^2+2t+8 & (t \le -2) \\

0 & (4 < t < 5) \\

t^2-4t-5 & (t \ge 5)

\end{cases}$

(2)

$h(t)$ (複雑になるので省略)