関数 $y=x^{\log x}$ ($x>0$) の導関数を求めよ。

1. 問題の内容

関数 $y=x^{\log x}$ ($x>0$) の導関数を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、両辺の自然対数をとります。

$\log y = \log(x^{\log x})$

対数の性質より、

$\log y = (\log x) (\log x) = (\log x)^2$

次に、両辺を $x$ で微分します。左辺は合成関数の微分なので、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = 2(\log x) \cdot \frac{1}{x}$

両辺に $y$ をかけると、

$\frac{dy}{dx} = y \cdot 2(\log x) \cdot \frac{1}{x} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^{\log x} \log x}{x}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{2x^{\log x} \log x}{x}$