媒介変数 $t$ を用いて、$x = 1 - \cos 2t$、$y = \sin t + 2$ と表される曲線上の、$t = \frac{5}{6}\pi$ に対応する点における接線の方程式を求める問題です。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = 1 - \cos 2t$、$y = \sin t + 2$ と表される曲線上の、$t = \frac{5}{6}\pi$ に対応する点における接線の方程式を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$t$ での微分 $dx/dt$ と $dy/dt$ を求めます。

$x = 1 - \cos 2t$ より、

$\frac{dx}{dt} = 2\sin 2t$

$y = \sin t + 2$ より、

$\frac{dy}{dt} = \cos t$

次に、$\frac{dy}{dx}$ を求めます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{\cos t}{2\sin 2t} = \frac{\cos t}{4\sin t \cos t} = \frac{1}{4\sin t}$

$t = \frac{5}{6}\pi$ のときの $\frac{dy}{dx}$ の値を求めます。

$\frac{dy}{dx}|_{t = \frac{5}{6}\pi} = \frac{1}{4\sin (\frac{5}{6}\pi)} = \frac{1}{4 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$

$t = \frac{5}{6}\pi$ のときの $x$ と $y$ の値を求めます。

$x = 1 - \cos (\frac{5}{3}\pi) = 1 - \cos (\frac{-\pi}{3}) = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

$y = \sin (\frac{5}{6}\pi) + 2 = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}$

したがって、接点の座標は $(\frac{1}{2}, \frac{5}{2})$ であり、接線の傾きは $\frac{1}{2}$ です。

接線の方程式は、

$y - \frac{5}{2} = \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2})$

$y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} + \frac{5}{2}$

$y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{1}{2}x + \frac{9}{4}$