関数 $f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ について、$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、$f(\theta)$ のとりうる最大の整数の値 $m$ と、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$ について、$0 \le \theta \le \pi$ の範囲で $\theta$ が動くとき、$f(\theta)$ のとりうる最大の整数の値 $m$ と、そのときの $\theta$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\cos^2 \theta$ を2倍角の公式を用いて変形します。$\cos 2\theta = 2\cos^2 \theta - 1$ より、$\cos^2 \theta = \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$ です。

次に、$f(\theta)$ を計算します。

$f(\theta) = 3\sin^2\theta + 4\sin\theta\cos\theta - \cos^2\theta$

$f(\theta) = 3\left(\frac{1-\cos 2\theta}{2}\right) + 2(2\sin\theta\cos\theta) - \frac{\cos 2\theta + 1}{2}$

$f(\theta) = \frac{3}{2} - \frac{3}{2}\cos 2\theta + 2\sin 2\theta - \frac{1}{2}\cos 2\theta - \frac{1}{2}$

$f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$

三角関数の合成を行います。

$f(\theta) = 2\sin 2\theta - 2\cos 2\theta + 1$

$f(\theta) = \sqrt{2^2 + (-2)^2} \sin\left(2\theta + \alpha\right) + 1$

$f(\theta) = \sqrt{8} \sin\left(2\theta + \alpha\right) + 1$

$f(\theta) = 2\sqrt{2} \sin\left(2\theta + \alpha\right) + 1$

ただし、$\cos \alpha = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$, $\sin \alpha = \frac{-2}{2\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\alpha = -\frac{\pi}{4}$ です。

したがって、$f(\theta) = 2\sqrt{2}\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 1$

$0 \le \theta \le \pi$ より、$0 \le 2\theta \le 2\pi$ であり、$-\frac{\pi}{4} \le 2\theta - \frac{\pi}{4} \le 2\pi - \frac{\pi}{4} = \frac{7\pi}{4}$ です。

$\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right)$ の最大値は1なので、$f(\theta)$ の最大値は $2\sqrt{2} + 1$ です。

$2\sqrt{2} + 1 \approx 2(1.414) + 1 = 2.828 + 1 = 3.828$ なので、最大の整数値 $m$ は 3 です。

$f(\theta) = 3$ となるのは、

$2\sqrt{2}\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right) + 1 = 3$

$2\sqrt{2}\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right) = 2$

$\sin\left(2\theta - \frac{\pi}{4}\right) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

$2\theta - \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$2\theta = \frac{\pi}{2}, \pi$

$\theta = \frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

ア: 2

イ: 2

ウ: 2

エ: 2

オ: 1

カ: 2

キ: 2

ク: 4

ケ: 3

コ: 4

サ: 2

最大の整数の値 $m = 3$ であり、そのときの $\theta$ の値は $\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}$ です。