問題1では、2変数関数の極限値が存在するかどうかを調べます。 (1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$ (2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}$ 問題2では、2変数関数の偏導関数を求めます。 (1) $z = \frac{x}{x-y}$ (2) $z = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$ (3) $z = xe^{x^2+y^2}$

1. 問題の内容

問題1では、2変数関数の極限値が存在するかどうかを調べます。

(1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

(2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}$

問題2では、2変数関数の偏導関数を求めます。

(1) $z = \frac{x}{x-y}$

(2) $z = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

(3) $z = xe^{x^2+y^2}$

2. 解き方の手順

問題1: 極限の存在

(1) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}$

$y = mx$に沿って原点に近づくと、

$\lim_{x\to 0} \frac{x^2 - (mx)^2}{x^2 + (mx)^2} = \lim_{x\to 0} \frac{x^2(1-m^2)}{x^2(1+m^2)} = \frac{1-m^2}{1+m^2}$

この極限値は $m$ に依存するので、極限は存在しません。

(2) $\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2}$

極座標変換をします: $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$

$\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x^2y}{x^2+y^2} = \lim_{r\to 0} \frac{r^2\cos^2\theta \cdot r\sin\theta}{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta} = \lim_{r\to 0} \frac{r^3\cos^2\theta\sin\theta}{r^2} = \lim_{r\to 0} r\cos^2\theta\sin\theta$

$|\cos^2\theta\sin\theta| \leq 1$ なので、

$\lim_{r\to 0} |r\cos^2\theta\sin\theta| \leq \lim_{r\to 0} |r| = 0$. よって極限は 0 です。

問題2: 偏導関数の計算

(1) $z = \frac{x}{x-y}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{(x-y) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-y)^2} = \frac{x-y-x}{(x-y)^2} = \frac{-y}{(x-y)^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{(x-y) \cdot 0 - x \cdot (-1)}{(x-y)^2} = \frac{x}{(x-y)^2}$

(2) $z = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - x \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{\sqrt{x^2+y^2} - \frac{x^2}{\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{x^2+y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^{3/2}} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{0 - x \cdot \frac{2y}{2\sqrt{x^2+y^2}}}{x^2+y^2} = \frac{-xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

(3) $z = xe^{x^2+y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial x} = e^{x^2+y^2} + x e^{x^2+y^2} \cdot 2x = e^{x^2+y^2} + 2x^2e^{x^2+y^2} = (1+2x^2)e^{x^2+y^2}$

$\frac{\partial z}{\partial y} = xe^{x^2+y^2} \cdot 2y = 2xye^{x^2+y^2}$

3. 最終的な答え

問題1:

(1) 極限は存在しない。

(2) 極限は0。

問題2:

(1) $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-y}{(x-y)^2}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x}{(x-y)^2}$

(2) $\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{y^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{-xy}{(x^2+y^2)^{3/2}}$

(3) $\frac{\partial z}{\partial x} = (1+2x^2)e^{x^2+y^2}$, $\frac{\partial z}{\partial y} = 2xye^{x^2+y^2}$