関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} x \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。 (2) $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。 (3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求める。

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \log_{\sqrt{e}} x \cdot \log_{e^4} x^2$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) $f'(x)$ と $f''(x)$ を求める。

(2) $f(x)$ が最小値をとる $x$ の値を求める。

(3) 曲線 $y = f(x)$ の変曲点を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、$f(x)$ を簡単にする。

$\log_{\sqrt{e}} x = \frac{\log x}{\log \sqrt{e}} = \frac{\log x}{\frac{1}{2} \log e} = 2 \log x$

$\log_{e^4} x^2 = \frac{\log x^2}{\log e^4} = \frac{2 \log x}{4 \log e} = \frac{1}{2} \log x$

したがって、$f(x) = 2 \log x \cdot \frac{1}{2} \log x = (\log x)^2$

$f'(x) = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} = \frac{2 \log x}{x} = \frac{1}{x} (2 \log x)$

よって、$f'(x) = \frac{1}{x} (2 \log x - 0)$

$f''(x) = \frac{2}{x^2} - \frac{2 \log x}{x^2} = \frac{2 - 2 \log x}{x^2} = \frac{2(1 - \log x)}{x^2} = \frac{1}{x^2}(3 - 4 \log x + 5)$

係数比較をして、$f''(x) = \frac{1}{x^2}(-2\log x + 2)$

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{2 \log x}{x} = 0$ より、$\log x = 0$ よって、$x = e^0 = 1$

$f'(x)$ の符号を調べると、$0 < x < 1$ で $f'(x) < 0$、$x > 1$ で $f'(x) > 0$ となるので、$x = 1$ で極小かつ最小となる。したがって、$f(x)$ は $x = e^{0} = 1$ で最小値をとる。

(3) $f''(x) = 0$ となる $x$ を求める。

$\frac{2 - 2 \log x}{x^2} = 0$ より、$2 - 2 \log x = 0$ よって、$\log x = 1$ したがって、$x = e^1 = e$

$f''(x)$ の符号を調べると、$0 < x < e$ で $f''(x) > 0$、$x > e$ で $f''(x) < 0$ となるので、$x = e$ で変曲点を持つ。

$y = f(e) = (\log e)^2 = 1^2 = 1$

したがって、変曲点は $(e, 1)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = \frac{1}{x} (2 \log x)$

$f''(x) = \frac{1}{x^2} (-2 \log x + 2)$

(2) $x = e^0 = 1$

(3) $(e^1, 1)$