関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$ この関数をフーリエ級数展開しなさい。ただし、関数は周期関数とします。また周期は4です。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} -2 & (-2 \le x \le 0) \\ 2 & (0 \le x \le 2) \end{cases}$

この関数をフーリエ級数展開しなさい。ただし、関数は周期関数とします。また周期は4です。

2. 解き方の手順

周期 $T=4$ の関数 $f(x)$ のフーリエ級数展開は、次のように表されます。

$f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} \left[ a_n \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) + b_n \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \right]$

ここで、$a_0$, $a_n$, $b_n$ はフーリエ係数であり、次のように計算されます。

$a_0 = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \, dx$

$a_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx$

$b_n = \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{T}\right) \, dx$

今回の問題では、$T = 4$ なので、

$a_0 = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{-2}^{0} (-2) \, dx + \int_{0}^{2} (2) \, dx \right] = \frac{1}{2} \left[ (-2x)|_{-2}^{0} + (2x)|_{0}^{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ 0 - (-2(-2)) + 2(2) - 0 \right] = \frac{1}{2} \left[ -4 + 4 \right] = 0$

$a_n = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \cos\left(\frac{2\pi n x}{4}\right) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{-2}^{0} (-2) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \, dx + \int_{0}^{2} (2) \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \, dx \right]$

$a_n = \frac{1}{2} \left[ \left( -2 \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \right)|_{-2}^{0} + \left( 2 \cdot \frac{2}{\pi n} \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \right)|_{0}^{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ -\frac{4}{\pi n} \left( \sin(0) - \sin(-\pi n) \right) + \frac{4}{\pi n} \left( \sin(\pi n) - \sin(0) \right) \right] = \frac{1}{2} [0 + 0] = 0$

$b_n = \frac{2}{4} \int_{-2}^{2} f(x) \sin\left(\frac{2\pi n x}{4}\right) \, dx = \frac{1}{2} \left[ \int_{-2}^{0} (-2) \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \, dx + \int_{0}^{2} (2) \sin\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \, dx \right]$

$b_n = \frac{1}{2} \left[ \left( -2 \cdot \frac{-2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \right)|_{-2}^{0} + \left( 2 \cdot \frac{-2}{\pi n} \cos\left(\frac{\pi n x}{2}\right) \right)|_{0}^{2} \right] = \frac{1}{2} \left[ \frac{4}{\pi n} \left( \cos(0) - \cos(-\pi n) \right) - \frac{4}{\pi n} \left( \cos(\pi n) - \cos(0) \right) \right]$

$b_n = \frac{2}{\pi n} \left[ 1 - \cos(-\pi n) - \cos(\pi n) + 1 \right] = \frac{2}{\pi n} \left[ 2 - 2\cos(\pi n) \right] = \frac{4}{\pi n} \left[ 1 - \cos(\pi n) \right]$

$cos(\pi n) = \begin{cases} 1 & (n:even) \\ -1 & (n:odd) \end{cases}$

$b_n = \begin{cases} 0 & (n:even) \\ \frac{8}{\pi n} & (n:odd) \end{cases}$

したがって、$n = 2k - 1$ として、$b_{2k-1} = \frac{8}{\pi (2k-1)}$

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k-1)} \sin\left(\frac{\pi (2k-1) x}{2}\right)$

3. 最終的な答え

$f(x) = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{8}{\pi (2k-1)} \sin\left(\frac{(2k-1)\pi x}{2}\right)$