$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 5x + 6} - (ax + b)) = 0$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} (\sqrt{4x^2 + 5x + 6} - (ax + b)) = 0$ を満たす $a$ と $b$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$\sqrt{4x^2 + 5x + 6}$ を $x$ を用いて近似することを考えます。$x$ が非常に大きいとき、$\sqrt{4x^2 + 5x + 6} \approx \sqrt{4x^2} = 2x$ となります。

したがって、与えられた極限が $0$ になるためには、$ax$ の項が $2x$ に近い値になる必要があります。すなわち、$a = 2$ であることが予想されます。

次に、$a = 2$ の場合に、$b$ の値を決定します。

$\sqrt{4x^2 + 5x + 6} - (2x + b) = \frac{(\sqrt{4x^2 + 5x + 6} - (2x + b))(\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b))}{\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)}$

$= \frac{(4x^2 + 5x + 6) - (2x + b)^2}{\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)}$

$= \frac{4x^2 + 5x + 6 - (4x^2 + 4bx + b^2)}{\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)}$

$= \frac{(5 - 4b)x + (6 - b^2)}{\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)}$

ここで、極限を取ることを考えます。

$\lim_{x \to \infty} \frac{(5 - 4b)x + (6 - b^2)}{\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)} = 0$ となるためには、分子の $x$ の係数が $0$ である必要があります。

したがって、$5 - 4b = 0$ より、$b = \frac{5}{4}$ となります。

このとき、分子は $6 - b^2 = 6 - (\frac{5}{4})^2 = 6 - \frac{25}{16} = \frac{96 - 25}{16} = \frac{71}{16}$ となります。

また、分母は $\sqrt{4x^2 + 5x + 6} + (2x + b)$ なので、極限を取ると $\infty$ に発散します。したがって、$b = \frac{5}{4}$ のとき、極限は $0$ となります。

3. 最終的な答え

$a = 2$

$b = \frac{5}{4}$