$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。 $\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta < 0$

1. 問題の内容

$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、次の不等式を解く問題です。

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta < 0$

2. 解き方の手順

まず、与えられた不等式を三角関数の合成を用いて変形します。

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta < 0$ を

$R\sin(\theta + \alpha) < 0$ の形に変形することを考えます。ここで、$R$ は正の数です。

$\sin\theta - \sqrt{3}\cos\theta = 2(\frac{1}{2}\sin\theta - \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta)$

$= 2(\sin\theta\cos(\frac{\pi}{3}) - \cos\theta\sin(\frac{\pi}{3}))$

$= 2\sin(\theta - \frac{\pi}{3})$

したがって、不等式は次のようになります。

$2\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) < 0$

$\sin(\theta - \frac{\pi}{3}) < 0$

$\theta$ の範囲は $0 \le \theta < 2\pi$ なので、$\theta - \frac{\pi}{3}$ の範囲は $-\frac{\pi}{3} \le \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi - \frac{\pi}{3} = \frac{5}{3}\pi$ となります。

$\sin x < 0$ となる $x$ の範囲は、$x$ が第3象限または第4象限にあるときなので、

$\pi < \theta - \frac{\pi}{3} < 2\pi$ となります。

$\pi + \frac{\pi}{3} < \theta < 2\pi + \frac{\pi}{3}$

$\frac{4}{3}\pi < \theta < \frac{7}{3}\pi$

$\theta$ の範囲を考慮すると、

$\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$ となります。

3. 最終的な答え

$\frac{4}{3}\pi < \theta < 2\pi$