ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。 a) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ c) $\lim_{x \to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ d) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$ e) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$
2025/7/12
1. 問題の内容
ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。
a)
b)
c)
d)
e)
2. 解き方の手順
a) とおくと、 となります。
のとき、 かつ なので、 の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
したがって、 より、 です。
b) のとき、 かつ なので、 の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
c) とおくと、 となります。
のとき、 かつ なので、 の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
したがって、 より、 です。
d) のとき、 かつ なので、 の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
これはまだ の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。
e)
のとき、 かつ なので、 の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
のとき、 かつ なので、まだ の不定形です。
もう一度ロピタルの定理を適用すると、
3. 最終的な答え
a)
b)
c)
d)
e)