ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。 a) $\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}$ b) $\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}$ c) $\lim_{x \to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ d) $\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}$ e) $\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})$

解析学極限ロピタルの定理指数関数対数関数三角関数
2025/7/12

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて以下の極限値を求めます。
a) limx1x11x\lim_{x \to 1} x^{\frac{1}{1-x}}
b) limxxex\lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x}
c) limx+0(1+x)1x\lim_{x \to +0} (1+x)^{\frac{1}{x}}
d) limx(logx)2x\lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x}
e) limx0(1x1sinx)\lim_{x \to 0} (\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x})

2. 解き方の手順

a) y=x11xy = x^{\frac{1}{1-x}} とおくと、logy=11xlogx=logx1x\log y = \frac{1}{1-x} \log x = \frac{\log x}{1-x} となります。
x1x \to 1 のとき、logx0\log x \to 0 かつ 1x01-x \to 0 なので、00\frac{0}{0} の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
limx1logx1x=limx11x1=limx11x=1 \lim_{x \to 1} \frac{\log x}{1-x} = \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{-1} = \lim_{x \to 1} -\frac{1}{x} = -1
したがって、limx1logy=1\lim_{x \to 1} \log y = -1 より、limx1y=e1=1e\lim_{x \to 1} y = e^{-1} = \frac{1}{e} です。
b) xx \to \infty のとき、xx \to \infty かつ exe^x \to \infty なので、\frac{\infty}{\infty} の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
limxxex=limx1ex=0 \lim_{x \to \infty} \frac{x}{e^x} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{e^x} = 0
c) y=(1+x)1xy = (1+x)^{\frac{1}{x}} とおくと、logy=1xlog(1+x)=log(1+x)x\log y = \frac{1}{x} \log (1+x) = \frac{\log(1+x)}{x} となります。
x0x \to 0 のとき、log(1+x)0\log (1+x) \to 0 かつ x0x \to 0 なので、00\frac{0}{0} の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
limx0log(1+x)x=limx011+x1=limx011+x=1 \lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x)}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{x \to 0} \frac{1}{1+x} = 1
したがって、limx0logy=1\lim_{x \to 0} \log y = 1 より、limx0y=e1=e\lim_{x \to 0} y = e^1 = e です。
d) xx \to \infty のとき、(logx)2(\log x)^2 \to \infty かつ xx \to \infty なので、\frac{\infty}{\infty} の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
limx(logx)2x=limx2logx1x1=limx2logxx \lim_{x \to \infty} \frac{(\log x)^2}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x \cdot \frac{1}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{x}
これはまだ \frac{\infty}{\infty} の不定形なので、もう一度ロピタルの定理を適用します。
limx2logxx=limx2x1=limx2x=0 \lim_{x \to \infty} \frac{2 \log x}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x}}{1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} = 0
e)
limx0(1x1sinx)=limx0sinxxxsinx \lim_{x \to 0} \left(\frac{1}{x} - \frac{1}{\sin x}\right) = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x}
x0x \to 0 のとき、sinxx0\sin x - x \to 0 かつ xsinx0x \sin x \to 0 なので、00\frac{0}{0} の不定形です。
ロピタルの定理を適用すると、
limx0sinxxxsinx=limx0cosx1sinx+xcosx \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x}
x0x \to 0 のとき、cosx10\cos x - 1 \to 0 かつ sinx+xcosx0\sin x + x \cos x \to 0 なので、まだ 00\frac{0}{0} の不定形です。
もう一度ロピタルの定理を適用すると、
limx0cosx1sinx+xcosx=limx0sinxcosx+cosxxsinx=limx0sinx2cosxxsinx=02=0 \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin x + x \cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{\cos x + \cos x - x \sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2 \cos x - x \sin x} = \frac{0}{2} = 0

3. 最終的な答え

a) 1e\frac{1}{e}
b) 00
c) ee
d) 00
e) 00

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