ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解いていきます。今回は問題2(1)について解答します。

1. 問題の内容

ロピタルの定理を用いて、次の極限を求めます。

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2}$

2. 解き方の手順

ロピタルの定理は、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ の形が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形である場合に、以下の式が成り立つ場合に適用できます。

$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$

この問題では、$x \to 0$ のとき、$1 - \cos x \to 1 - 1 = 0$ であり、$x^2 \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。したがって、ロピタルの定理を適用できます。

まず、$f(x) = 1 - \cos x$、$g(x) = x^2$ とおきます。それぞれの導関数を求めます。

$f'(x) = \sin x$

$g'(x) = 2x$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x}$

再び、$x \to 0$ のとき、$\sin x \to 0$、$2x \to 0$ なので、$\frac{0}{0}$ の不定形です。もう一度ロピタルの定理を適用します。

$f''(x) = \cos x$

$g''(x) = 2$

よって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2}$

$x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x^2} = \frac{1}{2}$