関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減を調べ、極値の有無を調べます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ の増減を調べ、極値の有無を調べます。

2. 解き方の手順

(1) まず、導関数 $f'(x)$ を求めます。商の微分公式を使用します。

$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$ のとき、$f'(x) = \frac{g'(x)h(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2}$です。

ここでは、$g(x) = x$、$h(x) = x^2+1$なので、$g'(x) = 1$、$h'(x) = 2x$です。

したがって、

$f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2+1) - x \cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 2x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2} = \frac{1-x^2}{(x^2+1)^2}$

(2) 次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$f'(x) = 0$となるのは、分子が0になるときなので、$1 - x^2 = 0$を解きます。

$x^2 = 1$ より、$x = \pm 1$

(3) 増減表を作成します。

$x$の値の範囲を$(-\infty, -1)$, $(-1, 1)$, $(1, \infty)$に分け、$f'(x)$の符号を調べます。

- $x < -1$ のとき、$x^2 > 1$なので、$1-x^2 < 0$。よって、$f'(x) < 0$。

- $-1 < x < 1$ のとき、$x^2 < 1$なので、$1-x^2 > 0$。よって、$f'(x) > 0$。

- $x > 1$ のとき、$x^2 > 1$なので、$1-x^2 < 0$。よって、$f'(x) < 0$。

増減表は以下のようになります。

| x | -∞ | ... | -1 | ... | 1 | ... | +∞ |

| :---- | :----- | :---- | :--- | :---- | :--- | :---- | :----- |

| f'(x) | | - | 0 | + | 0 | - | |

| f(x) | 0 | ↘ | -1/2 | ↗ | 1/2 | ↘ | 0 |

(4) 極値を調べます。

$x = -1$ のとき、$f'(x)$ の符号が負から正に変わるので、極小値をとります。

極小値は、$f(-1) = \frac{-1}{(-1)^2+1} = \frac{-1}{2} = -\frac{1}{2}$

$x = 1$ のとき、$f'(x)$ の符号が正から負に変わるので、極大値をとります。

極大値は、$f(1) = \frac{1}{1^2+1} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = \frac{x}{x^2+1}$ は、

$x=-1$ で極小値 $-\frac{1}{2}$ をとり、

$x=1$ で極大値 $\frac{1}{2}$ をとります。

$x<-1$と$x>1$で減少し、$-1<x<1$で増加します。