与えられた10個の積分問題を解く。各問題は以下の通りである。 (1) $\int x \sin 3x \, dx$ (2) $\int \arctan x \, dx$ (3) $\int x \log x \, dx$ (4) $\int e^x \sin 2x \, dx$ (5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$ (6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$ (7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$ (8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$ (9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$ (10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$

1. 問題の内容

与えられた10個の積分問題を解く。各問題は以下の通りである。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

(2) $\int \arctan x \, dx$

(3) $\int x \log x \, dx$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$

2. 解き方の手順

各積分問題を個別に解く。

(1) $\int x \sin 3x \, dx$

部分積分を用いる。$u = x$, $dv = \sin 3x \, dx$とすると、$du = dx$, $v = -\frac{1}{3} \cos 3x$。

$\int x \sin 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x - \int -\frac{1}{3} \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{3} \int \cos 3x \, dx = -\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $\int \arctan x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \arctan x$, $dv = dx$とすると、$du = \frac{1}{1 + x^2} \, dx$, $v = x$。

$\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C$

(3) $\int x \log x \, dx$

部分積分を用いる。$u = \log x$, $dv = x \, dx$とすると、$du = \frac{1}{x} \, dx$, $v = \frac{1}{2} x^2$。

$\int x \log x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \int \frac{1}{2} x^2 \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{2} \int x \, dx = \frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\int e^x \sin 2x \, dx$

部分積分を2回用いる。$I = \int e^x \sin 2x \, dx$とする。

$u = \sin 2x$, $dv = e^x \, dx$とすると、$du = 2 \cos 2x \, dx$, $v = e^x$。

$I = e^x \sin 2x - \int 2 e^x \cos 2x \, dx = e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx$

次に、$u = \cos 2x$, $dv = e^x \, dx$とすると、$du = -2 \sin 2x \, dx$, $v = e^x$。

$\int e^x \cos 2x \, dx = e^x \cos 2x - \int -2 e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx = e^x \cos 2x + 2I$

したがって、$I = e^x \sin 2x - 2(e^x \cos 2x + 2I)$より、$I = e^x \sin 2x - 2 e^x \cos 2x - 4I$。

$5I = e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x)$, $I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\int \sqrt{1 - x^2} \, dx$

三角関数置換を用いる。$x = \sin \theta$とすると、$dx = \cos \theta \, d\theta$。

$\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int \sqrt{1 - \sin^2 \theta} \cos \theta \, d\theta = \int \cos^2 \theta \, d\theta = \int \frac{1 + \cos 2\theta}{2} \, d\theta = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{4} \sin 2\theta + C = \frac{1}{2} \theta + \frac{1}{2} \sin \theta \cos \theta + C$

$\theta = \arcsin x$, $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$なので、

$\int \sqrt{1 - x^2} \, dx = \frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

(6) $\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \int \frac{1}{(x - 5)(x + 2)} \, dx$

部分分数分解を行う。$\frac{1}{(x - 5)(x + 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 2}$とおくと、$1 = A(x + 2) + B(x - 5)$。

$x = 5$のとき、$1 = 7A$, $A = \frac{1}{7}$。

$x = -2$のとき、$1 = -7B$, $B = -\frac{1}{7}$。

$\int \frac{1}{x^2 - 3x - 10} \, dx = \int \frac{1/7}{x - 5} - \frac{1/7}{x + 2} \, dx = \frac{1}{7} \ln |x - 5| - \frac{1}{7} \ln |x + 2| + C = \frac{1}{7} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

(7) $\int \frac{1}{x^2 - 3x + 4} \, dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + \frac{7}{4}} \, dx = \int \frac{1}{(x - \frac{3}{2})^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, dx$

$u = x - \frac{3}{2}$とすると、$du = dx$。$\int \frac{1}{u^2 + (\frac{\sqrt{7}}{2})^2} \, du = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2u}{\sqrt{7}} + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2(x - \frac{3}{2})}{\sqrt{7}} + C = \frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} + C$

(8) $\int \frac{1}{x^3 - 4x^2 + 5x} \, dx = \int \frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} \, dx = \int \frac{1}{x((x - 2)^2 + 1)} \, dx$

部分分数分解を行う。$\frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} = \frac{A}{x} + \frac{Bx + C}{x^2 - 4x + 5}$とおくと、$1 = A(x^2 - 4x + 5) + (Bx + C)x = (A + B)x^2 + (-4A + C)x + 5A$

$5A = 1$より、$A = \frac{1}{5}$。

$A + B = 0$より、$B = -\frac{1}{5}$。

$-4A + C = 0$より、$C = \frac{4}{5}$。

$\int \frac{1}{x(x^2 - 4x + 5)} \, dx = \int \frac{1/5}{x} + \frac{-x/5 + 4/5}{x^2 - 4x + 5} \, dx = \frac{1}{5} \int \frac{1}{x} \, dx - \frac{1}{10} \int \frac{2x - 4}{x^2 - 4x + 5} \, dx + \frac{2}{5} \int \frac{1}{(x - 2)^2 + 1} \, dx$

$= \frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln (x^2 - 4x + 5) + \frac{2}{5} \arctan (x - 2) + C$

(9) $\int \frac{1}{\sin x} \, dx = \int \csc x \, dx = \ln |\csc x - \cot x| + C = \ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$

(10) $\int \sqrt{1 + x^2} \, dx$

三角関数置換を用いる。$x = \sinh t$とすると、$dx = \cosh t \, dt$。

$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \int \sqrt{1 + \sinh^2 t} \cosh t \, dt = \int \cosh^2 t \, dt = \int \frac{1 + \cosh 2t}{2} \, dt = \frac{1}{2} t + \frac{1}{4} \sinh 2t + C = \frac{1}{2} t + \frac{1}{2} \sinh t \cosh t + C$

$t = \operatorname{arcsinh} x$, $\cosh t = \sqrt{1 + \sinh^2 t} = \sqrt{1 + x^2}$なので、

$\int \sqrt{1 + x^2} \, dx = \frac{1}{2} \operatorname{arcsinh} x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C = \frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $-\frac{1}{3} x \cos 3x + \frac{1}{9} \sin 3x + C$

(2) $x \arctan x - \frac{1}{2} \ln (1 + x^2) + C$

(3) $\frac{1}{2} x^2 \log x - \frac{1}{4} x^2 + C$

(4) $\frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2 \cos 2x) + C$

(5) $\frac{1}{2} \arcsin x + \frac{1}{2} x \sqrt{1 - x^2} + C$

(6) $\frac{1}{7} \ln \left| \frac{x - 5}{x + 2} \right| + C$

(7) $\frac{2}{\sqrt{7}} \arctan \frac{2x - 3}{\sqrt{7}} + C$

(8) $\frac{1}{5} \ln |x| - \frac{1}{10} \ln (x^2 - 4x + 5) + \frac{2}{5} \arctan (x - 2) + C$

(9) $\ln \left| \tan \frac{x}{2} \right| + C$

(10) $\frac{1}{2} \ln (x + \sqrt{x^2 + 1}) + \frac{1}{2} x \sqrt{1 + x^2} + C$