与えられた4つの関数 a) $sin(2x)$、 b) $sin^2(x)$、 c) $cos^{-1}(2x)$、 d) $\frac{cos(x)}{sin(x)}$ をそれぞれ微分する問題です。

1. 問題の内容

与えられた4つの関数 a) $sin(2x)$、 b) $sin^2(x)$、 c) $cos^{-1}(2x)$、 d) $\frac{cos(x)}{sin(x)}$ をそれぞれ微分する問題です。

2. 解き方の手順

a) $sin(2x)$の微分

$sin(ax)$の微分は$a \cdot cos(ax)$となることを利用します。

したがって、$sin(2x)$の微分は、$2cos(2x)$となります。

b) $sin^2(x)$の微分

合成関数の微分を行います。$y = u^2$、 $u = sin(x)$ と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$\frac{dy}{du} = 2u$、$\frac{du}{dx} = cos(x)$であるため、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot cos(x) = 2sin(x)cos(x) = sin(2x)$となります。

c) $cos^{-1}(2x)$の微分

$cos^{-1}(x)$の微分は$-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$です。

$cos^{-1}(2x)$を微分するには、合成関数の微分を行います。$y = cos^{-1}(u)$、$u = 2x$と置くと、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$となります。

$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sqrt{1-u^2}}$、$\frac{du}{dx} = 2$であるため、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(2x)^2}} \cdot 2 = -\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$となります。

d) $\frac{cos(x)}{sin(x)}$の微分

商の微分法を用います。$(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

$u = cos(x)$、$v = sin(x)$とすると、$u' = -sin(x)$、$v' = cos(x)$となります。

したがって、$(\frac{cos(x)}{sin(x)})' = \frac{-sin(x)sin(x) - cos(x)cos(x)}{sin^2(x)} = \frac{-sin^2(x) - cos^2(x)}{sin^2(x)} = \frac{-(sin^2(x) + cos^2(x))}{sin^2(x)} = -\frac{1}{sin^2(x)}$となります。

これは $-cosec^2(x)$ とも表現できます。

3. 最終的な答え

a) $2cos(2x)$

b) $sin(2x)$

c) $-\frac{2}{\sqrt{1-4x^2}}$

d) $-\frac{1}{sin^2(x)}$