問題は、2つの微分方程式を解くことです。 (2) $y' = xe^{-(x^2+y)}$ (3) $y' - 3y = x$

1. 問題の内容

問題は、2つの微分方程式を解くことです。

(2) $y' = xe^{-(x^2+y)}$

(3) $y' - 3y = x$

2. 解き方の手順

(2) の解き方：

まず、$e^{-(x^2+y)} = e^{-x^2}e^{-y}$ であることを利用して、式を $y' = xe^{-x^2}e^{-y}$ と書き換えます。

次に、両辺に $e^y$ をかけて、$e^y y' = xe^{-x^2}$ とします。

ここで、$e^y y' = \frac{d}{dx}(e^y)$ であるから、$\frac{d}{dx}(e^y) = xe^{-x^2}$ となります。

両辺を $x$ で積分すると、

$\int \frac{d}{dx}(e^y) dx = \int xe^{-x^2} dx$

$e^y = \int xe^{-x^2} dx$

ここで、$\int xe^{-x^2} dx$ を計算するために、$u = x^2$ と置換すると、$du = 2x dx$ より $x dx = \frac{1}{2} du$ となります。

したがって、$\int xe^{-x^2} dx = \int e^{-u} \frac{1}{2} du = -\frac{1}{2}e^{-u} + C = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$ となります。

したがって、$e^y = -\frac{1}{2}e^{-x^2} + C$ となります。

両辺の自然対数をとると、$y = \ln(-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C)$ となります。

(3) の解き方：

これは1階線形微分方程式です。

$y' - 3y = x$

まず、積分因子を求めます。積分因子は $e^{\int -3 dx} = e^{-3x}$ です。

両辺に $e^{-3x}$ をかけると、$e^{-3x}y' - 3e^{-3x}y = xe^{-3x}$ となります。

左辺は $\frac{d}{dx}(e^{-3x}y)$ と書き換えられるので、$\frac{d}{dx}(e^{-3x}y) = xe^{-3x}$ となります。

両辺を $x$ で積分すると、$\int \frac{d}{dx}(e^{-3x}y) dx = \int xe^{-3x} dx$

$e^{-3x}y = \int xe^{-3x} dx$

$\int xe^{-3x} dx$ を部分積分で計算します。$u = x$、$dv = e^{-3x} dx$ とすると、$du = dx$、$v = -\frac{1}{3}e^{-3x}$ となります。

$\int xe^{-3x} dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \int -\frac{1}{3}e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} + \frac{1}{3}\int e^{-3x} dx = -\frac{1}{3}xe^{-3x} + \frac{1}{3}(-\frac{1}{3}e^{-3x}) + C = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} + C$

したがって、$e^{-3x}y = -\frac{1}{3}xe^{-3x} - \frac{1}{9}e^{-3x} + C$ となります。

両辺に $e^{3x}$ をかけると、$y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + Ce^{3x}$ となります。

3. 最終的な答え

(2) $y = \ln(-\frac{1}{2}e^{-x^2} + C)$

(3) $y = -\frac{1}{3}x - \frac{1}{9} + Ce^{3x}$