$x \geq 0$ のとき、以下の2つの不等式が成り立つことを証明する問題です。 (1) $e^{2x} \geq 2x + 1$ (2) $\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$

1. 問題の内容

$x \geq 0$ のとき、以下の2つの不等式が成り立つことを証明する問題です。

(1) $e^{2x} \geq 2x + 1$

(2) $\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$

2. 解き方の手順

(1)

関数 $f(x) = e^{2x} - (2x + 1)$ を定義します。

$f(x) \geq 0$ を示すことが目標です。

$f'(x) = 2e^{2x} - 2 = 2(e^{2x} - 1)$

$x \geq 0$ のとき、$e^{2x} \geq 1$ なので、$f'(x) \geq 0$ です。

したがって、$f(x)$ は $x \geq 0$ で単調増加です。

$f(0) = e^{2(0)} - (2(0) + 1) = 1 - 1 = 0$

$x \geq 0$ において $f(x) \geq f(0) = 0$ であるため、$e^{2x} \geq 2x + 1$ が成り立ちます。

(2)

関数 $g(x) = \log(1+x) - (x - \frac{1}{2}x^2)$ を定義します。

$g(x) \geq 0$ を示すことが目標です。ただし、$x \geq 0$とします。

$g'(x) = \frac{1}{1+x} - (1 - x) = \frac{1 - (1-x)(1+x)}{1+x} = \frac{1 - (1-x^2)}{1+x} = \frac{x^2}{1+x}$

$x \geq 0$ のとき、$g'(x) \geq 0$ です。

したがって、$g(x)$ は $x \geq 0$ で単調増加です。

$g(0) = \log(1+0) - (0 - \frac{1}{2}(0)^2) = \log(1) - 0 = 0$

$x \geq 0$ において $g(x) \geq g(0) = 0$ であるため、$\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

(1) $x \geq 0$ のとき、$e^{2x} \geq 2x + 1$ が成り立つ。

(2) $x \geq 0$ のとき、$\log(1+x) \geq x - \frac{1}{2}x^2$ が成り立つ。