関数 $y = e^x(x-1)$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $y = e^x(x-1)$ の $-1 \le x \le 2$ における最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、極値を求めます。

積の微分法を用いると、

$y' = (e^x)'(x-1) + e^x(x-1)' = e^x(x-1) + e^x(1) = e^x(x-1+1) = xe^x$

となります。

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。$xe^x = 0$ より、$x=0$ が得られます ($e^x > 0$ なので、$x=0$のみ)。

(3) $x=0$ の前後で $y'$ の符号を調べ、増減表を作成します。

| x | -1 | ... | 0 | ... | 2 |

|---|---|---|---|---|---|

| y' | - | - | 0 | + | + |

| y | | ↘ | 極小 | ↗ | |

$y' = xe^x$ なので、$x < 0$ では $y' < 0$、$x > 0$ では $y' > 0$ となります。

したがって、$x=0$ で極小値をとります。

(4) 極小値と区間の端点での値を比較します。

$x=0$ のとき、$y = e^0(0-1) = 1(-1) = -1$

$x=-1$ のとき、$y = e^{-1}(-1-1) = -2e^{-1} = -\frac{2}{e} \approx -0.736$

$x=2$ のとき、$y = e^2(2-1) = e^2 \approx 7.389$

(5) したがって、最大値は $x=2$ のときの $y = e^2$、最小値は $x=0$ のときの $y = -1$ です。

3. 最終的な答え

最大値： $e^2$

最小値： $-1$