関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が与えられています。関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で連続であり、関数 $w = g(y)$ が $y = f(a)$ で連続であるとき、合成関数 $w = g \circ f(x) = g(f(x))$ が $x = a$ で連続であることを証明する必要があります。

1. 問題の内容

関数 $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ と $g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ が与えられています。関数 $y = f(x)$ が $x = a$ で連続であり、関数 $w = g(y)$ が $y = f(a)$ で連続であるとき、合成関数 $w = g \circ f(x) = g(f(x))$ が $x = a$ で連続であることを証明する必要があります。

2. 解き方の手順

連続の定義に従って証明を行います。関数 $f(x)$ が $x = a$ で連続であるとは、任意の $\epsilon_1 > 0$ に対して、ある $\delta_1 > 0$ が存在し、$|x - a| < \delta_1$ ならば $|f(x) - f(a)| < \epsilon_1$ が成り立つことを意味します。同様に、$g(y)$ が $y = f(a)$ で連続であるとは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta > 0$ が存在し、$|y - f(a)| < \delta$ ならば $|g(y) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つことを意味します。

まず、任意の $\epsilon > 0$ を考えます。関数 $g(y)$ は $y = f(a)$ で連続なので、ある $\delta > 0$ が存在し、$|y - f(a)| < \delta$ ならば $|g(y) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立ちます。

次に、$f(x)$ は $x = a$ で連続なので、上の $\delta > 0$ に対して、ある $\delta' > 0$ が存在し、$|x - a| < \delta'$ ならば $|f(x) - f(a)| < \delta$ が成り立ちます。

したがって、$|x - a| < \delta'$ ならば、$|f(x) - f(a)| < \delta$ であり、このとき $|g(f(x)) - g(f(a))| < \epsilon$ となります。

これは、任意の $\epsilon > 0$ に対して、ある $\delta' > 0$ が存在し、$|x - a| < \delta'$ ならば $|g(f(x)) - g(f(a))| < \epsilon$ が成り立つことを示しています。つまり、合成関数 $g(f(x))$ は $x = a$ で連続です。

3. 最終的な答え

合成関数 $w = g \circ f(x) = g(f(x))$ は $x = a$ で連続である。