関数 $y = -x^3 + 3x^2 - a$ の極大値と極小値がともに負となるように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -x^3 + 3x^2 - a$ の極大値と極小値がともに負となるように、定数 $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を微分して極値を求める。

$y' = -3x^2 + 6x$

$y' = 0$ となる $x$ を求める。

$-3x^2 + 6x = 0$

$-3x(x - 2) = 0$

$x = 0, 2$

$x = 0$ と $x = 2$ で、$y$ は極値をとる。

$x = 0$ のとき、$y = -0^3 + 3(0)^2 - a = -a$

$x = 2$ のとき、$y = -2^3 + 3(2)^2 - a = -8 + 12 - a = 4 - a$

$y'' = -6x + 6$

$x = 0$ のとき、$y'' = 6 > 0$ より、$x = 0$ で極小値をとる。

$x = 2$ のとき、$y'' = -6 < 0$ より、$x = 2$ で極大値をとる。

したがって、

極小値は $-a$

極大値は $4 - a$

極大値と極小値がともに負となる条件は、

$-a < 0$ かつ $4 - a < 0$

$-a < 0$ より、$a > 0$

$4 - a < 0$ より、$a > 4$

よって、$a > 4$

3. 最終的な答え

$a > 4$