問題は、以下の3つの関数について、$n$次導関数（$n \geq 1$）を求めることです。 a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ b) $f(x) = \log(1-x)$ c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

1. 問題の内容

問題は、以下の3つの関数について、$n$次導関数（$n \geq 1$）を求めることです。

a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

b) $f(x) = \log(1-x)$

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$

2. 解き方の手順

a) $f(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$ の場合：

まず、いくつかの導関数を計算してパターンを見つけます。

$f'(x) = -1(1+x)^{-2}$

$f''(x) = (-1)(-2)(1+x)^{-3} = 2(1+x)^{-3}$

$f'''(x) = 2(-3)(1+x)^{-4} = -6(1+x)^{-4}$

$f^{(4)}(x) = -6(-4)(1+x)^{-5} = 24(1+x)^{-5}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = (-1)^n n! (1+x)^{-(n+1)} = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

b) $f(x) = \log(1-x)$ の場合：

$f'(x) = \frac{-1}{1-x} = -(1-x)^{-1}$

$f''(x) = -(-1)(-1)(1-x)^{-2} = -(1-x)^{-2}$

$f'''(x) = -(-2)(-1)(1-x)^{-3} = -2(1-x)^{-3}$

$f^{(4)}(x) = -2(-3)(-1)(1-x)^{-4} = -6(1-x)^{-4}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = -(n-1)! (1-x)^{-n} = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ （$n \geq 1$）

c) $f(x) = (1+x)^{\frac{1}{2}}$ の場合：

$f'(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

$f''(x) = \frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(1+x)^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{4}(1+x)^{-\frac{3}{2}}$

$f'''(x) = -\frac{1}{4}(-\frac{3}{2})(1+x)^{-\frac{5}{2}} = \frac{3}{8}(1+x)^{-\frac{5}{2}}$

$f^{(4)}(x) = \frac{3}{8}(-\frac{5}{2})(1+x)^{-\frac{7}{2}} = -\frac{15}{16}(1+x)^{-\frac{7}{2}}$

一般的に、

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}-1)(\frac{1}{2}-2) \cdots (\frac{1}{2}-(n-1)) (1+x)^{\frac{1}{2}-n}$

$f^{(n)}(x) = \frac{1}{2} (-\frac{1}{2}) (-\frac{3}{2}) \cdots (\frac{3-2n}{2}) (1+x)^{\frac{1-2n}{2}}$

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n} 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n-3) (1+x)^{\frac{1-2n}{2}}$ （$n \geq 2$）

または、

$f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1-2n}{2}}$ （$n \geq 2$）

ここで、二重階乗 $k!!$ は、$k!! = k(k-2)(k-4) \cdots$ で定義される。

$f^{(1)}(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$

3. 最終的な答え

a) $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n n!}{(1+x)^{n+1}}$

b) $f^{(n)}(x) = -\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$ （$n \geq 1$）

c) $f^{(1)}(x) = \frac{1}{2}(1+x)^{-\frac{1}{2}}$, $f^{(n)}(x) = \frac{(-1)^{n-1}(2n-3)!!}{2^n}(1+x)^{\frac{1-2n}{2}}$ （$n \geq 2$）