領域 $D = \{(x, y); y^2 \le x \le y+2\}$ において、二重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y); y^2 \le x \le y+2\}$ において、二重積分 $\iint_D y \, dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、$y^2 = x$ と $x = y+2$ の交点を求めます。

$y^2 = y+2$ を解くと、$y^2 - y - 2 = 0$ となり、$(y-2)(y+1) = 0$ より $y = 2, -1$ です。

したがって、$y$ の積分範囲は $-1 \le y \le 2$ となります。

$x$ の積分範囲は $y^2 \le x \le y+2$ です。

二重積分を計算します。

$\iint_D y \, dxdy = \int_{-1}^{2} \int_{y^2}^{y+2} y \, dx \, dy$

まず、$x$ について積分します。

$\int_{y^2}^{y+2} y \, dx = y \int_{y^2}^{y+2} dx = y[x]_{y^2}^{y+2} = y(y+2-y^2) = y^2+2y-y^3$

次に、$y$ について積分します。

$\int_{-1}^{2} (y^2+2y-y^3) \, dy = [\frac{1}{3}y^3 + y^2 - \frac{1}{4}y^4]_{-1}^{2}$

$= (\frac{1}{3}(2^3) + 2^2 - \frac{1}{4}(2^4)) - (\frac{1}{3}(-1)^3 + (-1)^2 - \frac{1}{4}(-1)^4)$

$= (\frac{8}{3} + 4 - 4) - (-\frac{1}{3} + 1 - \frac{1}{4})$

$= \frac{8}{3} - (\frac{-4+12-3}{12})$

$= \frac{8}{3} - \frac{5}{12}$

$= \frac{32-5}{12} = \frac{27}{12} = \frac{9}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{9}{4}$