関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ の最大値と最小値を求める問題です。

2. 解き方の手順

* **ステップ1: 導関数を求める**

関数 $f(x) = xe^{-x^2}$ の導関数 $f'(x)$ を求めます。積の微分法を用いると、

$f'(x) = (x)'e^{-x^2} + x(e^{-x^2})'$

$f'(x) = e^{-x^2} + x(-2x)e^{-x^2}$

$f'(x) = e^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2}$

$f'(x) = (1 - 2x^2)e^{-x^2}$

* **ステップ2: 導関数が0になる点を求める**

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。$e^{-x^2}$ は常に正なので、$1 - 2x^2 = 0$ となる $x$ を求めれば良いです。

$1 - 2x^2 = 0$

$2x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{2}$

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

* **ステップ3: 増減表を作成する**

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ と $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ の前後で $f'(x)$ の符号がどう変わるか調べます。

* $x < -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x^2 > \frac{1}{2}$ より $1 - 2x^2 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

* $-\frac{1}{\sqrt{2}} < x < \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x^2 < \frac{1}{2}$ より $1 - 2x^2 > 0$ なので、$f'(x) > 0$

* $x > \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$x^2 > \frac{1}{2}$ より $1 - 2x^2 < 0$ なので、$f'(x) < 0$

したがって、$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ で極小値をとり、$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ で極大値をとります。

* **ステップ4: 極値を求める**

$x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、

$f(-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-(-\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = -\frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2e}}$

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、

$f(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-(\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1}{\sqrt{2}}e^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2e}}$

* **ステップ5: 最小値と最大値を求める**

$\lim_{x \to \infty} xe^{-x^2} = 0$ および $\lim_{x \to -\infty} xe^{-x^2} = 0$ なので、極値がそのまま最大値と最小値になります。

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{1}{\sqrt{2e}}$ ($x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき)

最小値: $-\frac{1}{\sqrt{2e}}$ ($x = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき)