関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 e^{2x}$ の3次導関数を求める。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ を求める。積の微分法を用いる。

$$f'(x) = (x^2)'e^{2x} + x^2(e^{2x})' = 2xe^{2x} + x^2(2e^{2x}) = 2xe^{2x} + 2x^2e^{2x} = (2x^2 + 2x)e^{2x}$$

次に、$f'(x)$ の2次導関数 $f''(x)$ を求める。再び積の微分法を用いる。

$$f''(x) = (2x^2 + 2x)'e^{2x} + (2x^2 + 2x)(e^{2x})' = (4x + 2)e^{2x} + (2x^2 + 2x)(2e^{2x}) = (4x + 2)e^{2x} + (4x^2 + 4x)e^{2x} = (4x^2 + 8x + 2)e^{2x}$$

最後に、$f''(x)$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求める。積の微分法を用いる。

$$f'''(x) = (4x^2 + 8x + 2)'e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2)(e^{2x})' = (8x + 8)e^{2x} + (4x^2 + 8x + 2)(2e^{2x}) = (8x + 8)e^{2x} + (8x^2 + 16x + 4)e^{2x} = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$$

3. 最終的な答え

$f'''(x) = (8x^2 + 24x + 12)e^{2x}$