関数 $f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求めます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{e^x}{1-x}$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ の1次導関数 $f'(x)$ を求めます。商の微分法を用いると、

$$f'(x) = \frac{e^x(1-x) - e^x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{e^x - xe^x + e^x}{(1-x)^2} = \frac{e^x(2-x)}{(1-x)^2}$$

次に、$f'(x)$ の2次導関数 $f''(x)$ を求めます。再び商の微分法を用いると、

$$f''(x) = \frac{[e^x(2-x) - e^x](1-x)^2 - e^x(2-x)2(1-x)(-1)}{(1-x)^4} = \frac{e^x(1-x)(1-x) - e^x(2-x)2(-1)}{(1-x)^3}$$

$$f''(x) = \frac{e^x(1-2x+x^2)+2e^x(2-x)}{(1-x)^3} = \frac{e^x(1-2x+x^2+4-2x)}{(1-x)^3} = \frac{e^x(x^2-4x+5)}{(1-x)^3}$$

最後に、$f''(x)$ の3次導関数 $f'''(x)$ を求めます。再度、商の微分法を用いると、

$$f'''(x) = \frac{[e^x(x^2-4x+5) + e^x(2x-4)](1-x)^3 - e^x(x^2-4x+5)3(1-x)^2(-1)}{(1-x)^6}$$

$$f'''(x) = \frac{e^x[(x^2-4x+5+2x-4)(1-x)+3(x^2-4x+5)]}{(1-x)^4} = \frac{e^x[(x^2-2x+1)(1-x)+3x^2-12x+15]}{(1-x)^4}$$

$$f'''(x) = \frac{e^x[x^2-x^3-2x+2x^2+1-x+3x^2-12x+15]}{(1-x)^4} = \frac{e^x[-x^3+6x^2-15x+16]}{(1-x)^4}$$

$$f'''(x) = \frac{e^x(-x^3+6x^2-15x+16)}{(1-x)^4}$$

3. 最終的な答え

$$f'''(x) = \frac{e^x(-x^3+6x^2-15x+16)}{(1-x)^4}$$