与えられた累次積分 $\int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x, y) dx$ の積分順序を交換します。

## 問6(1)

1. 問題の内容

与えられた累次積分 $\int_{0}^{4} dy \int_{\sqrt{y}}^{2} f(x, y) dx$ の積分順序を交換します。

2. 解き方の手順

まず、積分領域を特定します。この積分は、$y$ について $0 \le y \le 4$、$x$ について $\sqrt{y} \le x \le 2$ の範囲で積分することを意味します。

次に、$x$ と $y$ の不等式を整理します。$\sqrt{y} \le x$ は $y \le x^2$ と同値です。したがって、積分領域は $0 \le y \le x^2$ かつ $\sqrt{y} \le x \le 2$ です。

$x$ で最初に積分するために、積分領域を $x$ の範囲で記述します。$x$ の範囲は $0 \le x \le 2$ です。

$x$ が与えられたとき、$y$ の範囲は $0 \le y \le x^2$ です。

したがって、積分順序を交換した後の積分は $\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{x^2} f(x, y) dy$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{2} dx \int_{0}^{x^2} f(x, y) dy$

## 問6(2)

1. 問題の内容

与えられた累次積分 $\int_{2}^{3} dx \int_{1}^{x^2} f(x, y) dy$ の積分順序を交換します。

2. 解き方の手順

まず、積分領域を特定します。この積分は、$x$ について $2 \le x \le 3$、$y$ について $1 \le y \le x^2$ の範囲で積分することを意味します。

次に、$x$ と $y$ の不等式を整理します。$y \le x^2$ は $\sqrt{y} \le x$ と同値です（ただし、$x > 0$）。したがって、積分領域は $1 \le y \le x^2$ かつ $2 \le x \le 3$ です。

$y$ で最初に積分するために、積分領域を $y$ の範囲で記述します。$y$ の最小値は $1$ であり、最大値は $3^2 = 9$ です。したがって、$1 \le y \le 9$ です。

$y$ が与えられたとき、$x$ の範囲は $\sqrt{y} \le x \le 3$ です。

したがって、積分順序を交換した後の積分は $\int_{1}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x, y) dx$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{1}^{9} dy \int_{\sqrt{y}}^{3} f(x, y) dx$

## 問6(3)

1. 問題の内容

与えられた累次積分 $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} f(x, y) dy + \int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} f(x, y) dy$ の積分順序を交換します。

2. 解き方の手順

まず、それぞれの積分の積分領域を特定します。

最初の積分 $\int_{0}^{1} dx \int_{0}^{x} f(x, y) dy$ は、$x$ について $0 \le x \le 1$、$y$ について $0 \le y \le x$ の範囲です。これは、$0 \le y \le x \le 1$ または $y \le x, 0 \le y \le 1$ かつ $0 \le x \le 1$ で表されます。

2番目の積分 $\int_{1}^{2} dx \int_{0}^{2-x} f(x, y) dy$ は、$x$ について $1 \le x \le 2$、$y$ について $0 \le y \le 2-x$ の範囲です。これは、$0 \le y \le 2-x, 1 \le x \le 2$ で表されます。$x+y \le 2$ とも書けます。

これら2つの領域を合わせると、

領域1: $0 \le x \le 1$ かつ $0 \le y \le x$

領域2: $1 \le x \le 2$ かつ $0 \le y \le 2-x$

$x = y$ と $x = 2-y$ の交点は $y = 2-y$ より $2y = 2$ で $y = 1$ です。そのとき $x = 1$ になります。

$y$ を固定して、$x$ の範囲を考えます。

$0 \le y \le 1$ のとき、$y \le x \le 2-y$

したがって、積分は $\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{2-y} f(x, y) dx$ となります。

3. 最終的な答え

$\int_{0}^{1} dy \int_{y}^{2-y} f(x, y) dx$