与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$, b) $f(x) = \log(1+x)$, c) $f(x) = e^{2x}$, d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めよ。

1. 問題の内容

与えられた関数 a) $f(x) = \sin(2x)$, b) $f(x) = \log(1+x)$, c) $f(x) = e^{2x}$, d) $f(x) = 2^x$ のマクローリン展開を $n=3$ の項まで求めよ。

2. 解き方の手順

マクローリン展開は、関数 $f(x)$ を $x=0$ のまわりで展開したもので、次の式で表されます。

$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$

各関数について、3階までの導関数を求め、x=0での値を計算し、マクローリン展開の式に代入します。

a) $f(x) = \sin(2x)$

$f(0) = \sin(0) = 0$

$f'(x) = 2\cos(2x)$

$f'(0) = 2\cos(0) = 2$

$f''(x) = -4\sin(2x)$

$f''(0) = -4\sin(0) = 0$

$f'''(x) = -8\cos(2x)$

$f'''(0) = -8\cos(0) = -8$

よって、

$f(x) \approx 0 + 2x + \frac{0}{2!}x^2 + \frac{-8}{3!}x^3 = 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $f(x) = \log(1+x)$

$f(0) = \log(1+0) = \log(1) = 0$

$f'(x) = \frac{1}{1+x} = (1+x)^{-1}$

$f'(0) = \frac{1}{1+0} = 1$

$f''(x) = -(1+x)^{-2}$

$f''(0) = -1$

$f'''(x) = 2(1+x)^{-3}$

$f'''(0) = 2$

よって、

$f(x) \approx 0 + 1x + \frac{-1}{2!}x^2 + \frac{2}{3!}x^3 = x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $f(x) = e^{2x}$

$f(0) = e^0 = 1$

$f'(x) = 2e^{2x}$

$f'(0) = 2e^0 = 2$

$f''(x) = 4e^{2x}$

$f''(0) = 4e^0 = 4$

$f'''(x) = 8e^{2x}$

$f'''(0) = 8e^0 = 8$

よって、

$f(x) \approx 1 + 2x + \frac{4}{2!}x^2 + \frac{8}{3!}x^3 = 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

d) $f(x) = 2^x$

$f(x) = e^{x\ln 2}$ と書き換えられます。

$f(0) = 2^0 = 1$

$f'(x) = (\ln 2)2^x$

$f'(0) = \ln 2$

$f''(x) = (\ln 2)^2 2^x$

$f''(0) = (\ln 2)^2$

$f'''(x) = (\ln 2)^3 2^x$

$f'''(0) = (\ln 2)^3$

よって、

$f(x) \approx 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{3!}x^3 = 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{6}x^3$

3. 最終的な答え

a) $f(x) \approx 2x - \frac{4}{3}x^3$

b) $f(x) \approx x - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{3}x^3$

c) $f(x) \approx 1 + 2x + 2x^2 + \frac{4}{3}x^3$

d) $f(x) \approx 1 + (\ln 2)x + \frac{(\ln 2)^2}{2}x^2 + \frac{(\ln 2)^3}{6}x^3$