与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = \frac{1}{x+1}$ (2) $y = \frac{1}{x^2-1}$ (3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$ (4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = \frac{1}{x+1}$

(2) $y = \frac{1}{x^2-1}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$

(4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$

2. 解き方の手順

(1) $y = \frac{1}{x+1}$ の微分

$y = (x+1)^{-1}$ と書き換える。

連鎖律を用いて微分する。

$\frac{dy}{dx} = -1(x+1)^{-2} \cdot 1 = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $y = \frac{1}{x^2-1}$ の微分

$y = (x^2-1)^{-1}$ と書き換える。

連鎖律を用いて微分する。

$\frac{dy}{dx} = -1(x^2-1)^{-2} \cdot 2x = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

(3) $y = \frac{x}{x^2-x+1}$ の微分

商の微分法を用いる。

$u = x$, $v = x^2-x+1$ とおく。

$\frac{du}{dx} = 1$, $\frac{dv}{dx} = 2x-1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{(x^2-x+1)(1) - x(2x-1)}{(x^2-x+1)^2} = \frac{x^2-x+1 - 2x^2+x}{(x^2-x+1)^2} = \frac{-x^2+1}{(x^2-x+1)^2}$

(4) $y = \frac{x^3-4x+1}{x-2}$ の微分

商の微分法を用いる。

$u = x^3-4x+1$, $v = x-2$ とおく。

$\frac{du}{dx} = 3x^2-4$, $\frac{dv}{dx} = 1$

$\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u\frac{dv}{dx}}{v^2} = \frac{(x-2)(3x^2-4) - (x^3-4x+1)(1)}{(x-2)^2} = \frac{3x^3-6x^2-4x+8 - x^3+4x-1}{(x-2)^2} = \frac{2x^3-6x^2+7}{(x-2)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(x+1)^2}$

(2) $\frac{dy}{dx} = -\frac{2x}{(x^2-1)^2}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{-x^2+1}{(x^2-x+1)^2}$

(4) $\frac{dy}{dx} = \frac{2x^3-6x^2+7}{(x-2)^2}$