与えられた関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 + kx$ について、以下の問いに答えます。 (1) $f'(x)$ を求めます。 (2) $k=-4$ のとき、$y=f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選びます。 (3) $k=4$ のとき、$y=f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選びます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = x^3 + 3x^2 + kx$ について、以下の問いに答えます。

(1) $f'(x)$ を求めます。

(2) $k=-4$ のとき、$y=f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選びます。

(3) $k=4$ のとき、$y=f(x)$ のグラフの概形を、選択肢の中から選びます。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ を微分して $f'(x)$ を求めます。

$f(x) = x^3 + 3x^2 + kx$ より

$f'(x) = 3x^2 + 6x + k$

したがって、f'(x) = 3x^2 + 6x + k

(2) $k=-4$ のとき、$f'(x) = 3x^2 + 6x - 4$ となります。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$3x^2 + 6x - 4 = 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(-4)}}{2(3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{84}}{6} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{21}}{6} = -1 \pm \frac{\sqrt{21}}{3}$

$x = -1 - \frac{\sqrt{21}}{3} < 0$ と $x = -1 + \frac{\sqrt{21}}{3} > 0$ で $f'(x) = 0$ となるので、グラフは極大値と極小値を持ちます。よって、グラフの概形は①になります。

(3) $k=4$ のとき、$f'(x) = 3x^2 + 6x + 4$ となります。

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めると、

$3x^2 + 6x + 4 = 0$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 4(3)(4)}}{2(3)} = \frac{-6 \pm \sqrt{36 - 48}}{6} = \frac{-6 \pm \sqrt{-12}}{6}$

判別式が負になるので、$f'(x) = 0$ となる実数解は存在しません。つまり、$f(x)$ は単調増加関数です。

$f'(x) = 3x^2 + 6x + 4 = 3(x^2 + 2x) + 4 = 3(x^2 + 2x + 1) - 3 + 4 = 3(x+1)^2 + 1 > 0$

$x=-1$ で $f'(-1)=1$ となり、傾きが0になることはありません。

グラフの概形は③になります。

3. 最終的な答え

$f'(x) = 3x^2 + 6x + k$

$k=-4$ のとき、グラフの概形は①

$k=4$ のとき、グラフの概形は③