$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ の極限値を求めます。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x}$ の極限値を求めます。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ の公式を利用します。

まず、$\frac{\sin 3x}{x}$ の分母と分子に3を掛けます。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3x}$

次に、3を極限の外に出します。

$\lim_{x \to 0} \frac{3 \sin 3x}{3x} = 3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}$

$y = 3x$ とおくと、$x \to 0$ のとき $y \to 0$ なので、

$3 \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 3 \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y}$

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$ なので、

$3 \lim_{y \to 0} \frac{\sin y}{y} = 3 \cdot 1 = 3$

3. 最終的な答え

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{x} = 3$