$x \to 0$ のとき、以下の空欄に適切な式を答えよ。 (1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \Box + o(x)$ (2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \Box + o(x^6)$ (3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \Box + o(1)$

1. 問題の内容

$x \to 0$ のとき、以下の空欄に適切な式を答えよ。

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3} = \Box + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \Box + o(x^6)$

(3) $\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = \Box + o(1)$

2. 解き方の手順

(1) $\frac{x - \sin x}{x^3}$ を考える。$\sin x$ のTaylor展開は $x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots$ なので、

$x - \sin x = \frac{x^3}{6} - \frac{x^5}{120} + \cdots$

$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} - \frac{x^2}{120} + \cdots = \frac{1}{6} + o(x)$

よって、$\frac{x - \sin x}{x^3} = \frac{1}{6} + o(x)$

(2) $\log \frac{1+x}{1-x} = \log (1+x) - \log (1-x)$ を考える。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \frac{x^7}{7} + \cdots$

$\log(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} - \frac{x^7}{7} + \cdots$

$\log(1+x) - \log(1-x) = 2x + \frac{2x^3}{3} + \frac{2x^5}{5} + O(x^7)$

よって、$\log \frac{1+x}{1-x} = 2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5 + o(x^6)$

(3) $(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \log(1+x)}$ を考える。

$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$

$\frac{\log(1+x)}{x} = 1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e^{1 - \frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots} = e \cdot e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots}$

$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \cdots$ なので、

$e^{-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \frac{x^3}{4} + \cdots} = 1 + (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots) + \frac{1}{2} (-\frac{x}{2} + \frac{x^2}{3} - \cdots)^2 + \cdots = 1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + o(x^2)$

$(1+x)^{\frac{1}{x}} = e (1 - \frac{x}{2} + \frac{11}{24} x^2 + o(x^2)) = e - \frac{e}{2} x + \frac{11e}{24} x^2 + o(x^2)$

$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + \frac{11e}{24} x + o(x)$

よって、$\frac{(1+x)^{\frac{1}{x}} - e}{x} = -\frac{e}{2} + o(1)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $2x + \frac{2}{3}x^3 + \frac{2}{5}x^5$

(3) $-\frac{e}{2}$