与えられた積分を計算します。 $\int (\log x)^2 dx$

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。

$\int (\log x)^2 dx$

2. 解き方の手順

部分積分を2回用いて解きます。

まず、$u = (\log x)^2$、$dv = dx$ とおくと、$du = \frac{2 \log x}{x} dx$、$v = x$ となります。

したがって、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx$

次に、$\int \log x dx$ を計算します。$u = \log x$、$dv = dx$ とおくと、$du = \frac{1}{x} dx$、$v = x$ となります。

$\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - \int 1 dx = x \log x - x + C_1$

これを最初の式に代入すると、

$\int (\log x)^2 dx = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x + C_1) = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$

3. 最終的な答え

$x (\log x)^2 - 2x \log x + 2x + C$