$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$ となる（$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ で $\cos\theta \geq 0$ より）。

##

1. 問題の内容

次の3つの関数をそれぞれ積分せよ。

(1) $\sqrt{4-x^2}$

(2) $\sqrt{2x^2-4}$

(3) $\sqrt{x^2-x+1}$

##

2. 解き方の手順

### (1) $\sqrt{4-x^2}$ の積分

これは $x=2\sin\theta$ と置換することで積分できます。

1. 置換: $x=2\sin\theta$ とおく。すると、$dx = 2\cos\theta d\theta$ となり、

$\sqrt{4-x^2} = \sqrt{4-4\sin^2\theta} = \sqrt{4\cos^2\theta} = 2\cos\theta$ となる（$-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}$ で $\cos\theta \geq 0$ より）。

2. 積分を実行:

$\int \sqrt{4-x^2} dx = \int 2\cos\theta \cdot 2\cos\theta d\theta = 4\int \cos^2\theta d\theta$

ここで、$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ であるから、

$4\int \cos^2\theta d\theta = 4\int \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = 2\int (1+\cos2\theta) d\theta = 2(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta) + C$

$= 2\theta + \sin2\theta + C = 2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C$

3. 変数変換の逆変換:

$\sin\theta = \frac{x}{2}$ より、$\theta = \arcsin\frac{x}{2}$。

また、$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-\frac{x^2}{4}} = \frac{\sqrt{4-x^2}}{2}$。

したがって、$2\theta + 2\sin\theta\cos\theta + C = 2\arcsin\frac{x}{2} + 2\cdot\frac{x}{2}\cdot\frac{\sqrt{4-x^2}}{2} + C = 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

### (2) $\sqrt{2x^2-4}$ の積分

$\sqrt{2x^2-4} = \sqrt{2}\sqrt{x^2-2}$.

$x = \sqrt{2}\cosh u$ と置換することで積分します。

$dx = \sqrt{2} \sinh u du$

$\sqrt{x^2-2} = \sqrt{2 \cosh^2 u - 2} = \sqrt{2} \sqrt{\cosh^2 u -1} = \sqrt{2} \sinh u$

$\int \sqrt{2x^2-4} dx = \int \sqrt{2} \sqrt{x^2-2} dx = \int \sqrt{2} (\sqrt{2} \sinh u) \sqrt{2} \sinh u du = 2 \sqrt{2} \int \sinh^2 u du$

$\sinh^2 u = \frac{\cosh 2u - 1}{2}$

$2 \sqrt{2} \int \sinh^2 u du = 2 \sqrt{2} \int \frac{\cosh 2u - 1}{2} du = \sqrt{2} \int \cosh 2u - 1 du = \sqrt{2} (\frac{1}{2} \sinh 2u - u) + C = \sqrt{2} (\sinh u \cosh u - u) + C$

$\cosh u = \frac{x}{\sqrt{2}}$

$\sinh u = \sqrt{\cosh^2 u - 1} = \sqrt{\frac{x^2}{2}-1} = \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}}$

$u = \cosh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}}$

$\sqrt{2} (\sinh u \cosh u - u) + C = \sqrt{2} (\frac{x}{\sqrt{2}} \frac{\sqrt{x^2-2}}{\sqrt{2}} - \cosh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}})+ C = \frac{x\sqrt{x^2-2}}{2} - \sqrt{2} \cosh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

### (3) $\sqrt{x^2-x+1}$ の積分

1. 平方完成: $x^2-x+1 = (x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}$。

2. 置換: $x-\frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sinh u$ とおく。すると、$dx = \frac{\sqrt{3}}{2}\cosh u du$。

$\sqrt{x^2-x+1} = \sqrt{(x-\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}\sinh^2 u + \frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}\sqrt{\sinh^2 u+1} = \frac{\sqrt{3}}{2}\cosh u$

3. 積分を実行:

$\int \sqrt{x^2-x+1} dx = \int \frac{\sqrt{3}}{2}\cosh u \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cosh u du = \frac{3}{4} \int \cosh^2 u du$

$\cosh^2 u = \frac{\cosh 2u + 1}{2}$であるから、

$\frac{3}{4} \int \cosh^2 u du = \frac{3}{4} \int \frac{\cosh 2u+1}{2} du = \frac{3}{8} \int (\cosh 2u+1) du = \frac{3}{8} (\frac{1}{2}\sinh 2u + u) + C = \frac{3}{8} (\sinh u \cosh u + u) + C$

4. 変数変換の逆変換:

$\sinh u = \frac{2x-1}{\sqrt{3}}$, $\cosh u = \sqrt{\sinh^2 u + 1} = \sqrt{(\frac{2x-1}{\sqrt{3}})^2 + 1} = \sqrt{\frac{4x^2-4x+1}{3} + \frac{3}{3}} = \sqrt{\frac{4x^2-4x+4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \sqrt{x^2-x+1}$

$u = \sinh^{-1} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}$

$\frac{3}{8} (\sinh u \cosh u + u) + C = \frac{3}{8} (\frac{2x-1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{2\sqrt{x^2-x+1}}{\sqrt{3}} + \sinh^{-1} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C = \frac{3}{8}(\frac{4x-2}{3}\sqrt{x^2-x+1} + \sinh^{-1}\frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C = (\frac{2x-1}{4}\sqrt{x^2-x+1} + \frac{3}{8} \sinh^{-1} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$

##

3. 最終的な答え

(1) $\int \sqrt{4-x^2} dx = 2\arcsin\frac{x}{2} + \frac{x\sqrt{4-x^2}}{2} + C$

(2) $\int \sqrt{2x^2-4} dx = \frac{x\sqrt{x^2-2}}{2} - \sqrt{2} \cosh^{-1} \frac{x}{\sqrt{2}} + C$

(3) $\int \sqrt{x^2-x+1} dx = (\frac{2x-1}{4}\sqrt{x^2-x+1} + \frac{3}{8} \sinh^{-1} \frac{2x-1}{\sqrt{3}}) + C$