## 問題 1 の内容

## 問題 1 の内容

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4}$ を計算する問題です。

## 解き方の手順

1. **ロピタルの定理の適用:** この極限は $\frac{0}{0}$ の不定形なので、ロピタルの定理を適用できます。分子と分母をそれぞれ微分します。

2. **1回目の微分:**

* 分子の微分: $-2\sin x + 2x$

* 分母の微分: $4x^3$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-2\sin x + 2x}{4x^3} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x + x}{2x^3}$

3. **2回目の微分:**

* 分子の微分: $-\cos x + 1$

* 分母の微分: $6x^2$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{-\cos x + 1}{6x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{6x^2}$

4. **3回目の微分:**

* 分子の微分: $\sin x$

* 分母の微分: $12x$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{12x}$

5. **4回目の微分:**

* 分子の微分: $\cos x$

* 分母の微分: $12$

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{12}$

6. **極限の計算:** $x \to 0$ のとき、$\cos x \to 1$ なので、

$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{12} = \frac{1}{12}$

7. **別解:** $\cos x$ のマクローリン展開を利用する。

$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \dots$

したがって、

$2\cos x - 2 + x^2 = 2(1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots) - 2 + x^2 = \frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{360} + \dots$

$\frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4} = \frac{\frac{x^4}{12} - \frac{x^6}{360} + \dots}{x^4} = \frac{1}{12} - \frac{x^2}{360} + \dots$

$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos x - 2 + x^2}{x^4} = \frac{1}{12}$

## 最終的な答え

$\frac{1}{12}$